Løs -4x^2+20x-47=0

$$-4 { x }^{ 2 } +20x-47=0$$

Løs for x (complex solution)

$$x=\frac{-\sqrt{22}i+5}{2}\approx 2,5-2,34520788i$$

$$x=\frac{5+\sqrt{22}i}{2}\approx 2,5+2,34520788i$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Alle ligninger i formatet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formel giver to løsninger: Én løsning, når ± er addition, og én anden løsning, når det er subtraktion.

$$-4x^{2}+20x-47=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat -4 med a, 20 med b og -47 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-20±\sqrt{20^{2}-4\left(-4\right)\left(-47\right)}}{2\left(-4\right)}$$

Kvadrér 20.

$$x=\frac{-20±\sqrt{400-4\left(-4\right)\left(-47\right)}}{2\left(-4\right)}$$

Multiplicer -4 gange -4.

$$x=\frac{-20±\sqrt{400+16\left(-47\right)}}{2\left(-4\right)}$$

Multiplicer 16 gange -47.

$$x=\frac{-20±\sqrt{400-752}}{2\left(-4\right)}$$

Adder 400 til -752.

$$x=\frac{-20±\sqrt{-352}}{2\left(-4\right)}$$

Tag kvadratroden af -352.

$$x=\frac{-20±4\sqrt{22}i}{2\left(-4\right)}$$

Multiplicer 2 gange -4.

$$x=\frac{-20±4\sqrt{22}i}{-8}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{-20±4\sqrt{22}i}{-8} når ± er plus. Adder -20 til 4i\sqrt{22}.

$$x=\frac{-20+4\sqrt{22}i}{-8}$$

Divider -20+4i\sqrt{22} med -8.

$$x=\frac{-\sqrt{22}i+5}{2}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{-20±4\sqrt{22}i}{-8} når ± er minus. Subtraher 4i\sqrt{22} fra -20.

$$x=\frac{-4\sqrt{22}i-20}{-8}$$

Divider -20-4i\sqrt{22} med -8.

$$x=\frac{5+\sqrt{22}i}{2}$$

Ligningen er nu løst.

$$x=\frac{-\sqrt{22}i+5}{2} x=\frac{5+\sqrt{22}i}{2}$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Kvadratligninger som denne kan løses ved at fuldføre kvadratet. Ligningen skal først være i formlen x^{2}+bx=c for at fuldføre kvadratet.

$$-4x^{2}+20x-47=0$$

Adder 47 på begge sider af ligningen.

$$-4x^{2}+20x-47-\left(-47\right)=-\left(-47\right)$$

Hvis -47 subtraheres fra sig selv, giver det 0.

$$-4x^{2}+20x=-\left(-47\right)$$

Subtraher -47 fra 0.

$$-4x^{2}+20x=47$$

Divider begge sider med -4.

$$\frac{-4x^{2}+20x}{-4}=\frac{47}{-4}$$

Division med -4 annullerer multiplikationen med -4.

$$x^{2}+\frac{20}{-4}x=\frac{47}{-4}$$

Divider 20 med -4.

$$x^{2}-5x=\frac{47}{-4}$$

Divider 47 med -4.

$$x^{2}-5x=-\frac{47}{4}$$

Divider -5, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få -\frac{5}{2}. Adder derefter kvadratet af -\frac{5}{2} på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$x^{2}-5x+\left(-\frac{5}{2}\right)^{2}=-\frac{47}{4}+\left(-\frac{5}{2}\right)^{2}$$

Du kan kvadrere -\frac{5}{2} ved at kvadrere både tælleren og nævneren i brøken.

$$x^{2}-5x+\frac{25}{4}=\frac{-47+25}{4}$$

Føj -\frac{47}{4} til \frac{25}{4} ved at finde en fællesnævner og tilføje tællere. Reducer derefter brøken til de mindste led, hvis det er muligt.

$$x^{2}-5x+\frac{25}{4}=-\frac{11}{2}$$

Faktor x^{2}-5x+\frac{25}{4}. Generelt kan det altid faktoreres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}, når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat.

$$\left(x-\frac{5}{2}\right)^{2}=-\frac{11}{2}$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{2}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{11}{2}}$$

Forenkling.

$$x-\frac{5}{2}=\frac{\sqrt{22}i}{2} x-\frac{5}{2}=-\frac{\sqrt{22}i}{2}$$

Adder \frac{5}{2} på begge sider af ligningen.

$$x=\frac{5+\sqrt{22}i}{2} x=\frac{-\sqrt{22}i+5}{2}$$