Løs -4a^2-3a+1=0

$$-4 { a }^{ 2 } -3a+1 = 0$$

Løs for a

$$a=\frac{1}{4}=0,25$$

$$a=-1$$

Vejledning i faktorisering ved gruppering

Hvis du vil løse ligningen, skal du faktor venstre side ved at gruppere. For det første skal venstre side ikke skrives som -4a^{2}+aa+ba+1. Hvis du vil finde a og b, skal du konfigurere et system, der skal løses.

$$a+b=-3 ab=-4=-4$$

Da ab er negative, skal a og b have de modsatte tegn. Da a+b er negativt, har det negative tal en højere absolut værdi end det positive. Vis alle disse heltals par, der giver produkt -4.

$$1,-4 2,-2$$

Beregn summen af hvert par.

$$1-4=-3 2-2=0$$

Løsningen er det par, der får summen -3.

$$a=1 b=-4$$

Omskriv -4a^{2}-3a+1 som \left(-4a^{2}+a\right)+\left(-4a+1\right).

$$\left(-4a^{2}+a\right)+\left(-4a+1\right)$$

Ud-a i den første og -1 i den anden gruppe.

$$-a\left(4a-1\right)-\left(4a-1\right)$$

Udfaktoriser fællesleddet 4a-1 ved hjælp af fordelingsegenskaben.

$$\left(4a-1\right)\left(-a-1\right)$$

Løs 4a-1=0 og -a-1=0 for at finde Lignings løsninger.

$$a=\frac{1}{4} a=-1$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Alle ligninger i formatet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formel giver to løsninger: Én løsning, når ± er addition, og én anden løsning, når det er subtraktion.

$$-4a^{2}-3a+1=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat -4 med a, -3 med b og 1 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$a=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{\left(-3\right)^{2}-4\left(-4\right)}}{2\left(-4\right)}$$

Kvadrér -3.

$$a=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9-4\left(-4\right)}}{2\left(-4\right)}$$

Multiplicer -4 gange -4.

$$a=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9+16}}{2\left(-4\right)}$$

Adder 9 til 16.

$$a=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{25}}{2\left(-4\right)}$$

Tag kvadratroden af 25.

$$a=\frac{-\left(-3\right)±5}{2\left(-4\right)}$$

Det modsatte af -3 er 3.

$$a=\frac{3±5}{2\left(-4\right)}$$

Multiplicer 2 gange -4.

$$a=\frac{3±5}{-8}$$

Nu skal du løse ligningen, a=\frac{3±5}{-8} når ± er plus. Adder 3 til 5.

$$a=\frac{8}{-8}$$

Divider 8 med -8.

$$a=-1$$

Nu skal du løse ligningen, a=\frac{3±5}{-8} når ± er minus. Subtraher 5 fra 3.

$$a=-\frac{2}{-8}$$

Reducer fraktionen \frac{-2}{-8} til de laveste led ved at udtrække og annullere 2.

$$a=\frac{1}{4}$$

Ligningen er nu løst.

$$a=-1 a=\frac{1}{4}$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Kvadratligninger som denne kan løses ved at fuldføre kvadratet. Ligningen skal først være i formlen x^{2}+bx=c for at fuldføre kvadratet.

$$-4a^{2}-3a+1=0$$

Subtraher 1 fra begge sider af ligningen.

$$-4a^{2}-3a+1-1=-1$$

Hvis 1 subtraheres fra sig selv, giver det 0.

$$-4a^{2}-3a=-1$$

Divider begge sider med -4.

$$\frac{-4a^{2}-3a}{-4}=-\frac{1}{-4}$$

Division med -4 annullerer multiplikationen med -4.

$$a^{2}+\left(-\frac{3}{-4}\right)a=-\frac{1}{-4}$$

Divider -3 med -4.

$$a^{2}+\frac{3}{4}a=-\frac{1}{-4}$$

Divider -1 med -4.

$$a^{2}+\frac{3}{4}a=\frac{1}{4}$$

Divider \frac{3}{4}, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få \frac{3}{8}. Adder derefter kvadratet af \frac{3}{8} på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$a^{2}+\frac{3}{4}a+\left(\frac{3}{8}\right)^{2}=\frac{1}{4}+\left(\frac{3}{8}\right)^{2}$$

Du kan kvadrere \frac{3}{8} ved at kvadrere både tælleren og nævneren i brøken.

$$a^{2}+\frac{3}{4}a+\frac{9}{64}=\frac{1}{4}+\frac{9}{64}$$

Føj \frac{1}{4} til \frac{9}{64} ved at finde en fællesnævner og tilføje tællere. Reducer derefter brøken til de mindste led, hvis det er muligt.

$$a^{2}+\frac{3}{4}a+\frac{9}{64}=\frac{25}{64}$$

Faktor a^{2}+\frac{3}{4}a+\frac{9}{64}. Generelt kan det altid faktoreres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}, når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat.

$$\left(a+\frac{3}{8}\right)^{2}=\frac{25}{64}$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(a+\frac{3}{8}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{25}{64}}$$

Forenkling.

$$a+\frac{3}{8}=\frac{5}{8} a+\frac{3}{8}=-\frac{5}{8}$$

Subtraher \frac{3}{8} fra begge sider af ligningen.

$$a=\frac{1}{4} a=-1$$