Løs -3x-6x^2=-108

$$-3x-6 { x }^{ 2 } = -108$$

Løs for x

$$x = -\frac{9}{2} = -4\frac{1}{2} = -4,5$$

$$x=4$$

Vejledning i faktorisering ved gruppering

Tilføj 108 på begge sider.

$$-3x-6x^{2}+108=0$$

Divider begge sider med 3.

$$-x-2x^{2}+36=0$$

Omarranger polynomiet for at placere det i standardformlen. Placer leddene i rækkefølge fra højeste til laveste potens.

$$-2x^{2}-x+36=0$$

Hvis du vil løse ligningen, skal du faktor venstre side ved at gruppere. For det første skal venstre side ikke skrives som -2x^{2}+ax+bx+36. Hvis du vil finde a og b, skal du konfigurere et system, der skal løses.

$$a+b=-1 ab=-2\times 36=-72$$

Da ab er negative, skal a og b have de modsatte tegn. Da a+b er negativt, har det negative tal en højere absolut værdi end det positive. Vis alle disse heltals par, der giver produkt -72.

$$1,-72 2,-36 3,-24 4,-18 6,-12 8,-9$$

Beregn summen af hvert par.

$$1-72=-71 2-36=-34 3-24=-21 4-18=-14 6-12=-6 8-9=-1$$

Løsningen er det par, der får summen -1.

$$a=8 b=-9$$

Omskriv -2x^{2}-x+36 som \left(-2x^{2}+8x\right)+\left(-9x+36\right).

$$\left(-2x^{2}+8x\right)+\left(-9x+36\right)$$

Ud2x i den første og 9 i den anden gruppe.

$$2x\left(-x+4\right)+9\left(-x+4\right)$$

Udfaktoriser fællesleddet -x+4 ved hjælp af fordelingsegenskaben.

$$\left(-x+4\right)\left(2x+9\right)$$

Løs -x+4=0 og 2x+9=0 for at finde Lignings løsninger.

$$x=4 x=-\frac{9}{2}$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Alle ligninger i formatet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formel giver to løsninger: Én løsning, når ± er addition, og én anden løsning, når det er subtraktion.

$$-6x^{2}-3x=-108$$

Adder 108 på begge sider af ligningen.

$$-6x^{2}-3x-\left(-108\right)=-108-\left(-108\right)$$

Hvis -108 subtraheres fra sig selv, giver det 0.

$$-6x^{2}-3x-\left(-108\right)=0$$

Subtraher -108 fra 0.

$$-6x^{2}-3x+108=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat -6 med a, -3 med b og 108 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{\left(-3\right)^{2}-4\left(-6\right)\times 108}}{2\left(-6\right)}$$

Kvadrér -3.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9-4\left(-6\right)\times 108}}{2\left(-6\right)}$$

Multiplicer -4 gange -6.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9+24\times 108}}{2\left(-6\right)}$$

Multiplicer 24 gange 108.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9+2592}}{2\left(-6\right)}$$

Adder 9 til 2592.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{2601}}{2\left(-6\right)}$$

Tag kvadratroden af 2601.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±51}{2\left(-6\right)}$$

Det modsatte af -3 er 3.

$$x=\frac{3±51}{2\left(-6\right)}$$

Multiplicer 2 gange -6.

$$x=\frac{3±51}{-12}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{3±51}{-12} når ± er plus. Adder 3 til 51.

$$x=\frac{54}{-12}$$

Reducer fraktionen \frac{54}{-12} til de laveste led ved at udtrække og annullere 6.

$$x=-\frac{9}{2}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{3±51}{-12} når ± er minus. Subtraher 51 fra 3.

$$x=-\frac{48}{-12}$$

Divider -48 med -12.

$$x=4$$

Ligningen er nu løst.

$$x=-\frac{9}{2} x=4$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Kvadratligninger som denne kan løses ved at fuldføre kvadratet. Ligningen skal først være i formlen x^{2}+bx=c for at fuldføre kvadratet.

$$-6x^{2}-3x=-108$$

Divider begge sider med -6.

$$\frac{-6x^{2}-3x}{-6}=-\frac{108}{-6}$$

Division med -6 annullerer multiplikationen med -6.

$$x^{2}+\left(-\frac{3}{-6}\right)x=-\frac{108}{-6}$$

Reducer fraktionen \frac{-3}{-6} til de laveste led ved at udtrække og annullere 3.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x=-\frac{108}{-6}$$

Divider -108 med -6.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x=18$$

Divider \frac{1}{2}, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få \frac{1}{4}. Adder derefter kvadratet af \frac{1}{4} på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x+\left(\frac{1}{4}\right)^{2}=18+\left(\frac{1}{4}\right)^{2}$$

Du kan kvadrere \frac{1}{4} ved at kvadrere både tælleren og nævneren i brøken.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}=18+\frac{1}{16}$$

Adder 18 til \frac{1}{16}.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}=\frac{289}{16}$$

Faktor x^{2}+\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}. Generelt kan det altid faktoreres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}, når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat.

$$\left(x+\frac{1}{4}\right)^{2}=\frac{289}{16}$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{289}{16}}$$

Forenkling.

$$x+\frac{1}{4}=\frac{17}{4} x+\frac{1}{4}=-\frac{17}{4}$$

Subtraher \frac{1}{4} fra begge sider af ligningen.

$$x=4 x=-\frac{9}{2}$$