Løs -3x^2+28x+39=0

$$-3 { x }^{ 2 } +28x+39=0$$

Løs for x

$$x = \frac{\sqrt{313} + 14}{3} \approx 10,563935338$$

$$x=\frac{14-\sqrt{313}}{3}\approx -1,230602004$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Alle ligninger i formatet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formel giver to løsninger: Én løsning, når ± er addition, og én anden løsning, når det er subtraktion.

$$-3x^{2}+28x+39=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat -3 med a, 28 med b og 39 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-28±\sqrt{28^{2}-4\left(-3\right)\times 39}}{2\left(-3\right)}$$

Kvadrér 28.

$$x=\frac{-28±\sqrt{784-4\left(-3\right)\times 39}}{2\left(-3\right)}$$

Multiplicer -4 gange -3.

$$x=\frac{-28±\sqrt{784+12\times 39}}{2\left(-3\right)}$$

Multiplicer 12 gange 39.

$$x=\frac{-28±\sqrt{784+468}}{2\left(-3\right)}$$

Adder 784 til 468.

$$x=\frac{-28±\sqrt{1252}}{2\left(-3\right)}$$

Tag kvadratroden af 1252.

$$x=\frac{-28±2\sqrt{313}}{2\left(-3\right)}$$

Multiplicer 2 gange -3.

$$x=\frac{-28±2\sqrt{313}}{-6}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{-28±2\sqrt{313}}{-6} når ± er plus. Adder -28 til 2\sqrt{313}.

$$x=\frac{2\sqrt{313}-28}{-6}$$

Divider -28+2\sqrt{313} med -6.

$$x=\frac{14-\sqrt{313}}{3}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{-28±2\sqrt{313}}{-6} når ± er minus. Subtraher 2\sqrt{313} fra -28.

$$x=\frac{-2\sqrt{313}-28}{-6}$$

Divider -28-2\sqrt{313} med -6.

$$x=\frac{\sqrt{313}+14}{3}$$

Ligningen er nu løst.

$$x=\frac{14-\sqrt{313}}{3} x=\frac{\sqrt{313}+14}{3}$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Kvadratligninger som denne kan løses ved at fuldføre kvadratet. Ligningen skal først være i formlen x^{2}+bx=c for at fuldføre kvadratet.

$$-3x^{2}+28x+39=0$$

Subtraher 39 fra begge sider af ligningen.

$$-3x^{2}+28x+39-39=-39$$

Hvis 39 subtraheres fra sig selv, giver det 0.

$$-3x^{2}+28x=-39$$

Divider begge sider med -3.

$$\frac{-3x^{2}+28x}{-3}=-\frac{39}{-3}$$

Division med -3 annullerer multiplikationen med -3.

$$x^{2}+\frac{28}{-3}x=-\frac{39}{-3}$$

Divider 28 med -3.

$$x^{2}-\frac{28}{3}x=-\frac{39}{-3}$$

Divider -39 med -3.

$$x^{2}-\frac{28}{3}x=13$$

Divider -\frac{28}{3}, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få -\frac{14}{3}. Adder derefter kvadratet af -\frac{14}{3} på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$x^{2}-\frac{28}{3}x+\left(-\frac{14}{3}\right)^{2}=13+\left(-\frac{14}{3}\right)^{2}$$

Du kan kvadrere -\frac{14}{3} ved at kvadrere både tælleren og nævneren i brøken.

$$x^{2}-\frac{28}{3}x+\frac{196}{9}=13+\frac{196}{9}$$

Adder 13 til \frac{196}{9}.

$$x^{2}-\frac{28}{3}x+\frac{196}{9}=\frac{313}{9}$$

Faktor x^{2}-\frac{28}{3}x+\frac{196}{9}. Generelt kan det altid faktoreres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}, når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat.

$$\left(x-\frac{14}{3}\right)^{2}=\frac{313}{9}$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(x-\frac{14}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{313}{9}}$$

Forenkling.

$$x-\frac{14}{3}=\frac{\sqrt{313}}{3} x-\frac{14}{3}=-\frac{\sqrt{313}}{3}$$

Adder \frac{14}{3} på begge sider af ligningen.

$$x=\frac{\sqrt{313}+14}{3} x=\frac{14-\sqrt{313}}{3}$$