Løs -2x^2+20x=48

$$-2 { x }^{ 2 } +20x=48$$

Løs for x

$$x=4$$

$$x=6$$

Vejledning i faktorisering ved gruppering

Subtraher 48 fra begge sider.

$$-2x^{2}+20x-48=0$$

Divider begge sider med 2.

$$-x^{2}+10x-24=0$$

Hvis du vil løse ligningen, skal du faktor venstre side ved at gruppere. For det første skal venstre side ikke skrives som -x^{2}+ax+bx-24. Hvis du vil finde a og b, skal du konfigurere et system, der skal løses.

$$a+b=10 ab=-\left(-24\right)=24$$

Da ab er positivt, skal a og b have samme fortegn. Da a+b er positivt, er a og b begge positive. Vis alle disse heltals par, der giver produkt 24.

$$1,24 2,12 3,8 4,6$$

Beregn summen af hvert par.

$$1+24=25 2+12=14 3+8=11 4+6=10$$

Løsningen er det par, der får summen 10.

$$a=6 b=4$$

Omskriv -x^{2}+10x-24 som \left(-x^{2}+6x\right)+\left(4x-24\right).

$$\left(-x^{2}+6x\right)+\left(4x-24\right)$$

Ud-x i den første og 4 i den anden gruppe.

$$-x\left(x-6\right)+4\left(x-6\right)$$

Udfaktoriser fællesleddet x-6 ved hjælp af fordelingsegenskaben.

$$\left(x-6\right)\left(-x+4\right)$$

Løs x-6=0 og -x+4=0 for at finde Lignings løsninger.

$$x=6 x=4$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Alle ligninger i formatet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formel giver to løsninger: Én løsning, når ± er addition, og én anden løsning, når det er subtraktion.

$$-2x^{2}+20x=48$$

Subtraher 48 fra begge sider af ligningen.

$$-2x^{2}+20x-48=48-48$$

Hvis 48 subtraheres fra sig selv, giver det 0.

$$-2x^{2}+20x-48=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat -2 med a, 20 med b og -48 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-20±\sqrt{20^{2}-4\left(-2\right)\left(-48\right)}}{2\left(-2\right)}$$

Kvadrér 20.

$$x=\frac{-20±\sqrt{400-4\left(-2\right)\left(-48\right)}}{2\left(-2\right)}$$

Multiplicer -4 gange -2.

$$x=\frac{-20±\sqrt{400+8\left(-48\right)}}{2\left(-2\right)}$$

Multiplicer 8 gange -48.

$$x=\frac{-20±\sqrt{400-384}}{2\left(-2\right)}$$

Adder 400 til -384.

$$x=\frac{-20±\sqrt{16}}{2\left(-2\right)}$$

Tag kvadratroden af 16.

$$x=\frac{-20±4}{2\left(-2\right)}$$

Multiplicer 2 gange -2.

$$x=\frac{-20±4}{-4}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{-20±4}{-4} når ± er plus. Adder -20 til 4.

$$x=-\frac{16}{-4}$$

Divider -16 med -4.

$$x=4$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{-20±4}{-4} når ± er minus. Subtraher 4 fra -20.

$$x=-\frac{24}{-4}$$

Divider -24 med -4.

$$x=6$$

Ligningen er nu løst.

$$x=4 x=6$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Kvadratligninger som denne kan løses ved at fuldføre kvadratet. Ligningen skal først være i formlen x^{2}+bx=c for at fuldføre kvadratet.

$$-2x^{2}+20x=48$$

Divider begge sider med -2.

$$\frac{-2x^{2}+20x}{-2}=\frac{48}{-2}$$

Division med -2 annullerer multiplikationen med -2.

$$x^{2}+\frac{20}{-2}x=\frac{48}{-2}$$

Divider 20 med -2.

$$x^{2}-10x=\frac{48}{-2}$$

Divider 48 med -2.

$$x^{2}-10x=-24$$

Divider -10, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få -5. Adder derefter kvadratet af -5 på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$x^{2}-10x+\left(-5\right)^{2}=-24+\left(-5\right)^{2}$$

Kvadrér -5.

$$x^{2}-10x+25=-24+25$$

Adder -24 til 25.

$$x^{2}-10x+25=1$$

Faktor x^{2}-10x+25. Generelt kan det altid faktoreres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}, når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat.

$$\left(x-5\right)^{2}=1$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(x-5\right)^{2}}=\sqrt{1}$$

Forenkling.

$$x-5=1 x-5=-1$$

Adder 5 på begge sider af ligningen.

$$x=6 x=4$$