Løs -2x^2+14x+4=0

$$-2 { x }^{ 2 } +14x+4=0$$

Løs for x

$$x = \frac{\sqrt{57} + 7}{2} \approx 7,274917218$$

$$x=\frac{7-\sqrt{57}}{2}\approx -0,274917218$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Alle ligninger i formatet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formel giver to løsninger: Én løsning, når ± er addition, og én anden løsning, når det er subtraktion.

$$-2x^{2}+14x+4=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat -2 med a, 14 med b og 4 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-14±\sqrt{14^{2}-4\left(-2\right)\times 4}}{2\left(-2\right)}$$

Kvadrér 14.

$$x=\frac{-14±\sqrt{196-4\left(-2\right)\times 4}}{2\left(-2\right)}$$

Multiplicer -4 gange -2.

$$x=\frac{-14±\sqrt{196+8\times 4}}{2\left(-2\right)}$$

Multiplicer 8 gange 4.

$$x=\frac{-14±\sqrt{196+32}}{2\left(-2\right)}$$

Adder 196 til 32.

$$x=\frac{-14±\sqrt{228}}{2\left(-2\right)}$$

Tag kvadratroden af 228.

$$x=\frac{-14±2\sqrt{57}}{2\left(-2\right)}$$

Multiplicer 2 gange -2.

$$x=\frac{-14±2\sqrt{57}}{-4}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{-14±2\sqrt{57}}{-4} når ± er plus. Adder -14 til 2\sqrt{57}.

$$x=\frac{2\sqrt{57}-14}{-4}$$

Divider -14+2\sqrt{57} med -4.

$$x=\frac{7-\sqrt{57}}{2}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{-14±2\sqrt{57}}{-4} når ± er minus. Subtraher 2\sqrt{57} fra -14.

$$x=\frac{-2\sqrt{57}-14}{-4}$$

Divider -14-2\sqrt{57} med -4.

$$x=\frac{\sqrt{57}+7}{2}$$

Ligningen er nu løst.

$$x=\frac{7-\sqrt{57}}{2} x=\frac{\sqrt{57}+7}{2}$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Kvadratligninger som denne kan løses ved at fuldføre kvadratet. Ligningen skal først være i formlen x^{2}+bx=c for at fuldføre kvadratet.

$$-2x^{2}+14x+4=0$$

Subtraher 4 fra begge sider af ligningen.

$$-2x^{2}+14x+4-4=-4$$

Hvis 4 subtraheres fra sig selv, giver det 0.

$$-2x^{2}+14x=-4$$

Divider begge sider med -2.

$$\frac{-2x^{2}+14x}{-2}=-\frac{4}{-2}$$

Division med -2 annullerer multiplikationen med -2.

$$x^{2}+\frac{14}{-2}x=-\frac{4}{-2}$$

Divider 14 med -2.

$$x^{2}-7x=-\frac{4}{-2}$$

Divider -4 med -2.

$$x^{2}-7x=2$$

Divider -7, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få -\frac{7}{2}. Adder derefter kvadratet af -\frac{7}{2} på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$x^{2}-7x+\left(-\frac{7}{2}\right)^{2}=2+\left(-\frac{7}{2}\right)^{2}$$

Du kan kvadrere -\frac{7}{2} ved at kvadrere både tælleren og nævneren i brøken.

$$x^{2}-7x+\frac{49}{4}=2+\frac{49}{4}$$

Adder 2 til \frac{49}{4}.

$$x^{2}-7x+\frac{49}{4}=\frac{57}{4}$$

Faktor x^{2}-7x+\frac{49}{4}. Generelt kan det altid faktoreres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}, når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat.

$$\left(x-\frac{7}{2}\right)^{2}=\frac{57}{4}$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(x-\frac{7}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{57}{4}}$$

Forenkling.

$$x-\frac{7}{2}=\frac{\sqrt{57}}{2} x-\frac{7}{2}=-\frac{\sqrt{57}}{2}$$

Adder \frac{7}{2} på begge sider af ligningen.

$$x=\frac{\sqrt{57}+7}{2} x=\frac{7-\sqrt{57}}{2}$$