Løs -144x^2+9x-9=0

$$-144 { x }^{ 2 } +9x-9 = 0$$

Løs for x (complex solution)

$$x=\frac{1+3\sqrt{7}i}{32}\approx 0,03125+0,248039185i$$

$$x=\frac{-3\sqrt{7}i+1}{32}\approx 0,03125-0,248039185i$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Alle ligninger i formatet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formel giver to løsninger: Én løsning, når ± er addition, og én anden løsning, når det er subtraktion.

$$-144x^{2}+9x-9=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat -144 med a, 9 med b og -9 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-9±\sqrt{9^{2}-4\left(-144\right)\left(-9\right)}}{2\left(-144\right)}$$

Kvadrér 9.

$$x=\frac{-9±\sqrt{81-4\left(-144\right)\left(-9\right)}}{2\left(-144\right)}$$

Multiplicer -4 gange -144.

$$x=\frac{-9±\sqrt{81+576\left(-9\right)}}{2\left(-144\right)}$$

Multiplicer 576 gange -9.

$$x=\frac{-9±\sqrt{81-5184}}{2\left(-144\right)}$$

Adder 81 til -5184.

$$x=\frac{-9±\sqrt{-5103}}{2\left(-144\right)}$$

Tag kvadratroden af -5103.

$$x=\frac{-9±27\sqrt{7}i}{2\left(-144\right)}$$

Multiplicer 2 gange -144.

$$x=\frac{-9±27\sqrt{7}i}{-288}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{-9±27\sqrt{7}i}{-288} når ± er plus. Adder -9 til 27i\sqrt{7}.

$$x=\frac{-9+27\sqrt{7}i}{-288}$$

Divider -9+27i\sqrt{7} med -288.

$$x=\frac{-3\sqrt{7}i+1}{32}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{-9±27\sqrt{7}i}{-288} når ± er minus. Subtraher 27i\sqrt{7} fra -9.

$$x=\frac{-27\sqrt{7}i-9}{-288}$$

Divider -9-27i\sqrt{7} med -288.

$$x=\frac{1+3\sqrt{7}i}{32}$$

Ligningen er nu løst.

$$x=\frac{-3\sqrt{7}i+1}{32} x=\frac{1+3\sqrt{7}i}{32}$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Kvadratligninger som denne kan løses ved at fuldføre kvadratet. Ligningen skal først være i formlen x^{2}+bx=c for at fuldføre kvadratet.

$$-144x^{2}+9x-9=0$$

Adder 9 på begge sider af ligningen.

$$-144x^{2}+9x-9-\left(-9\right)=-\left(-9\right)$$

Hvis -9 subtraheres fra sig selv, giver det 0.

$$-144x^{2}+9x=-\left(-9\right)$$

Subtraher -9 fra 0.

$$-144x^{2}+9x=9$$

Divider begge sider med -144.

$$\frac{-144x^{2}+9x}{-144}=\frac{9}{-144}$$

Division med -144 annullerer multiplikationen med -144.

$$x^{2}+\frac{9}{-144}x=\frac{9}{-144}$$

Reducer fraktionen \frac{9}{-144} til de laveste led ved at udtrække og annullere 9.

$$x^{2}-\frac{1}{16}x=\frac{9}{-144}$$

Reducer fraktionen \frac{9}{-144} til de laveste led ved at udtrække og annullere 9.

$$x^{2}-\frac{1}{16}x=-\frac{1}{16}$$

Divider -\frac{1}{16}, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få -\frac{1}{32}. Adder derefter kvadratet af -\frac{1}{32} på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$x^{2}-\frac{1}{16}x+\left(-\frac{1}{32}\right)^{2}=-\frac{1}{16}+\left(-\frac{1}{32}\right)^{2}$$

Du kan kvadrere -\frac{1}{32} ved at kvadrere både tælleren og nævneren i brøken.

$$x^{2}-\frac{1}{16}x+\frac{1}{1024}=-\frac{1}{16}+\frac{1}{1024}$$

Føj -\frac{1}{16} til \frac{1}{1024} ved at finde en fællesnævner og tilføje tællere. Reducer derefter brøken til de mindste led, hvis det er muligt.

$$x^{2}-\frac{1}{16}x+\frac{1}{1024}=-\frac{63}{1024}$$

Faktor x^{2}-\frac{1}{16}x+\frac{1}{1024}. Generelt kan det altid faktoreres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}, når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat.

$$\left(x-\frac{1}{32}\right)^{2}=-\frac{63}{1024}$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{32}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{63}{1024}}$$

Forenkling.

$$x-\frac{1}{32}=\frac{3\sqrt{7}i}{32} x-\frac{1}{32}=-\frac{3\sqrt{7}i}{32}$$

Adder \frac{1}{32} på begge sider af ligningen.

$$x=\frac{1+3\sqrt{7}i}{32} x=\frac{-3\sqrt{7}i+1}{32}$$