Løs -x^2-x-1=0

$$- x ^ { 2 } - x - 1 = 0$$

Løs for x (complex solution)

$$x=\frac{-\sqrt{3}i-1}{2}\approx -0,5-0,866025404i$$

$$x=\frac{-1+\sqrt{3}i}{2}\approx -0,5+0,866025404i$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Alle ligninger i formatet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formel giver to løsninger: Én løsning, når ± er addition, og én anden løsning, når det er subtraktion.

$$-x^{2}-x-1=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat -1 med a, -1 med b og -1 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-4\left(-1\right)\left(-1\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Multiplicer -4 gange -1.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1+4\left(-1\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Multiplicer 4 gange -1.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-4}}{2\left(-1\right)}$$

Adder 1 til -4.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{-3}}{2\left(-1\right)}$$

Tag kvadratroden af -3.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{3}i}{2\left(-1\right)}$$

Det modsatte af -1 er 1.

$$x=\frac{1±\sqrt{3}i}{2\left(-1\right)}$$

Multiplicer 2 gange -1.

$$x=\frac{1±\sqrt{3}i}{-2}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{1±\sqrt{3}i}{-2} når ± er plus. Adder 1 til i\sqrt{3}.

$$x=\frac{1+\sqrt{3}i}{-2}$$

Divider 1+i\sqrt{3} med -2.

$$x=\frac{-\sqrt{3}i-1}{2}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{1±\sqrt{3}i}{-2} når ± er minus. Subtraher i\sqrt{3} fra 1.

$$x=\frac{-\sqrt{3}i+1}{-2}$$

Divider 1-i\sqrt{3} med -2.

$$x=\frac{-1+\sqrt{3}i}{2}$$

Ligningen er nu løst.

$$x=\frac{-\sqrt{3}i-1}{2} x=\frac{-1+\sqrt{3}i}{2}$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Kvadratligninger som denne kan løses ved at fuldføre kvadratet. Ligningen skal først være i formlen x^{2}+bx=c for at fuldføre kvadratet.

$$-x^{2}-x-1=0$$

Adder 1 på begge sider af ligningen.

$$-x^{2}-x-1-\left(-1\right)=-\left(-1\right)$$

Hvis -1 subtraheres fra sig selv, giver det 0.

$$-x^{2}-x=-\left(-1\right)$$

Subtraher -1 fra 0.

$$-x^{2}-x=1$$

Divider begge sider med -1.

$$\frac{-x^{2}-x}{-1}=\frac{1}{-1}$$

Division med -1 annullerer multiplikationen med -1.

$$x^{2}+\left(-\frac{1}{-1}\right)x=\frac{1}{-1}$$

Divider -1 med -1.

$$x^{2}+x=\frac{1}{-1}$$

Divider 1 med -1.

$$x^{2}+x=-1$$

Divider 1, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få \frac{1}{2}. Adder derefter kvadratet af \frac{1}{2} på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$x^{2}+x+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}=-1+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Du kan kvadrere \frac{1}{2} ved at kvadrere både tælleren og nævneren i brøken.

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=-1+\frac{1}{4}$$

Adder -1 til \frac{1}{4}.

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=-\frac{3}{4}$$

Faktoriser x^{2}+x+\frac{1}{4}. Når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat, kan det generelt altid faktoriseres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}=-\frac{3}{4}$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{3}{4}}$$

Forenkling.

$$x+\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{3}i}{2} x+\frac{1}{2}=-\frac{\sqrt{3}i}{2}$$

Subtraher \frac{1}{2} fra begge sider af ligningen.

$$x=\frac{-1+\sqrt{3}i}{2} x=\frac{-\sqrt{3}i-1}{2}$$