Løs -x^2+90x-75=20

$$- x ^ { 2 } + 90 x - 75 = 20$$

Løs for x

$$x=\sqrt{1930}+45\approx 88,931765273$$

$$x=45-\sqrt{1930}\approx 1,068234727$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Alle ligninger i formatet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formel giver to løsninger: Én løsning, når ± er addition, og én anden løsning, når det er subtraktion.

$$-x^{2}+90x-75=20$$

Subtraher 20 fra begge sider af ligningen.

$$-x^{2}+90x-75-20=20-20$$

Hvis 20 subtraheres fra sig selv, giver det 0.

$$-x^{2}+90x-75-20=0$$

Subtraher 20 fra -75.

$$-x^{2}+90x-95=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat -1 med a, 90 med b og -95 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-90±\sqrt{90^{2}-4\left(-1\right)\left(-95\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Kvadrér 90.

$$x=\frac{-90±\sqrt{8100-4\left(-1\right)\left(-95\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Multiplicer -4 gange -1.

$$x=\frac{-90±\sqrt{8100+4\left(-95\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Multiplicer 4 gange -95.

$$x=\frac{-90±\sqrt{8100-380}}{2\left(-1\right)}$$

Adder 8100 til -380.

$$x=\frac{-90±\sqrt{7720}}{2\left(-1\right)}$$

Tag kvadratroden af 7720.

$$x=\frac{-90±2\sqrt{1930}}{2\left(-1\right)}$$

Multiplicer 2 gange -1.

$$x=\frac{-90±2\sqrt{1930}}{-2}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{-90±2\sqrt{1930}}{-2} når ± er plus. Adder -90 til 2\sqrt{1930}.

$$x=\frac{2\sqrt{1930}-90}{-2}$$

Divider -90+2\sqrt{1930} med -2.

$$x=45-\sqrt{1930}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{-90±2\sqrt{1930}}{-2} når ± er minus. Subtraher 2\sqrt{1930} fra -90.

$$x=\frac{-2\sqrt{1930}-90}{-2}$$

Divider -90-2\sqrt{1930} med -2.

$$x=\sqrt{1930}+45$$

Ligningen er nu løst.

$$x=45-\sqrt{1930} x=\sqrt{1930}+45$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Kvadratligninger som denne kan løses ved at fuldføre kvadratet. Ligningen skal først være i formlen x^{2}+bx=c for at fuldføre kvadratet.

$$-x^{2}+90x-75=20$$

Adder 75 på begge sider af ligningen.

$$-x^{2}+90x-75-\left(-75\right)=20-\left(-75\right)$$

Hvis -75 subtraheres fra sig selv, giver det 0.

$$-x^{2}+90x=20-\left(-75\right)$$

Subtraher -75 fra 20.

$$-x^{2}+90x=95$$

Divider begge sider med -1.

$$\frac{-x^{2}+90x}{-1}=\frac{95}{-1}$$

Division med -1 annullerer multiplikationen med -1.

$$x^{2}+\frac{90}{-1}x=\frac{95}{-1}$$

Divider 90 med -1.

$$x^{2}-90x=\frac{95}{-1}$$

Divider 95 med -1.

$$x^{2}-90x=-95$$

Divider -90, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få -45. Adder derefter kvadratet af -45 på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$x^{2}-90x+\left(-45\right)^{2}=-95+\left(-45\right)^{2}$$

Kvadrér -45.

$$x^{2}-90x+2025=-95+2025$$

Adder -95 til 2025.

$$x^{2}-90x+2025=1930$$

Faktor x^{2}-90x+2025. Generelt kan det altid faktoreres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}, når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat.

$$\left(x-45\right)^{2}=1930$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(x-45\right)^{2}}=\sqrt{1930}$$

Forenkling.

$$x-45=\sqrt{1930} x-45=-\sqrt{1930}$$

Adder 45 på begge sider af ligningen.

$$x=\sqrt{1930}+45 x=45-\sqrt{1930}$$