Løs -x^2+8x+47=0

$$- x ^ { 2 } + 8 x + 47 = 0$$

Løs for x

$$x=3\sqrt{7}+4\approx 11,937253933$$

$$x=4-3\sqrt{7}\approx -3,937253933$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Alle ligninger i formatet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formel giver to løsninger: Én løsning, når ± er addition, og én anden løsning, når det er subtraktion.

$$-x^{2}+8x+47=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat -1 med a, 8 med b og 47 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-8±\sqrt{8^{2}-4\left(-1\right)\times 47}}{2\left(-1\right)}$$

Kvadrér 8.

$$x=\frac{-8±\sqrt{64-4\left(-1\right)\times 47}}{2\left(-1\right)}$$

Multiplicer -4 gange -1.

$$x=\frac{-8±\sqrt{64+4\times 47}}{2\left(-1\right)}$$

Multiplicer 4 gange 47.

$$x=\frac{-8±\sqrt{64+188}}{2\left(-1\right)}$$

Adder 64 til 188.

$$x=\frac{-8±\sqrt{252}}{2\left(-1\right)}$$

Tag kvadratroden af 252.

$$x=\frac{-8±6\sqrt{7}}{2\left(-1\right)}$$

Multiplicer 2 gange -1.

$$x=\frac{-8±6\sqrt{7}}{-2}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{-8±6\sqrt{7}}{-2} når ± er plus. Adder -8 til 6\sqrt{7}.

$$x=\frac{6\sqrt{7}-8}{-2}$$

Divider -8+6\sqrt{7} med -2.

$$x=4-3\sqrt{7}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{-8±6\sqrt{7}}{-2} når ± er minus. Subtraher 6\sqrt{7} fra -8.

$$x=\frac{-6\sqrt{7}-8}{-2}$$

Divider -8-6\sqrt{7} med -2.

$$x=3\sqrt{7}+4$$

Ligningen er nu løst.

$$x=4-3\sqrt{7} x=3\sqrt{7}+4$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Kvadratligninger som denne kan løses ved at fuldføre kvadratet. Ligningen skal først være i formlen x^{2}+bx=c for at fuldføre kvadratet.

$$-x^{2}+8x+47=0$$

Subtraher 47 fra begge sider af ligningen.

$$-x^{2}+8x+47-47=-47$$

Hvis 47 subtraheres fra sig selv, giver det 0.

$$-x^{2}+8x=-47$$

Divider begge sider med -1.

$$\frac{-x^{2}+8x}{-1}=-\frac{47}{-1}$$

Division med -1 annullerer multiplikationen med -1.

$$x^{2}+\frac{8}{-1}x=-\frac{47}{-1}$$

Divider 8 med -1.

$$x^{2}-8x=-\frac{47}{-1}$$

Divider -47 med -1.

$$x^{2}-8x=47$$

Divider -8, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få -4. Adder derefter kvadratet af -4 på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$x^{2}-8x+\left(-4\right)^{2}=47+\left(-4\right)^{2}$$

Kvadrér -4.

$$x^{2}-8x+16=47+16$$

Adder 47 til 16.

$$x^{2}-8x+16=63$$

Faktor x^{2}-8x+16. Generelt kan det altid faktoreres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}, når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat.

$$\left(x-4\right)^{2}=63$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(x-4\right)^{2}}=\sqrt{63}$$

Forenkling.

$$x-4=3\sqrt{7} x-4=-3\sqrt{7}$$

Adder 4 på begge sider af ligningen.

$$x=3\sqrt{7}+4 x=4-3\sqrt{7}$$