Løs -x^2+2x+15=0

$$- x ^ { 2 } + 2 x + 15 = 0$$

Løs for x

$$x=-3$$

$$x=5$$

Vejledning i faktorisering ved gruppering

Hvis du vil løse ligningen, skal du faktor venstre side ved at gruppere. For det første skal venstre side ikke skrives som -x^{2}+ax+bx+15. Hvis du vil finde a og b, skal du konfigurere et system, der skal løses.

$$a+b=2 ab=-15=-15$$

Da ab er negative, skal a og b have de modsatte tegn. Da a+b er positivt, har det positive tal en større absolut værdi end det negative. Vis alle disse heltals par, der giver produkt -15.

$$-1,15 -3,5$$

Beregn summen af hvert par.

$$-1+15=14 -3+5=2$$

Løsningen er det par, der får summen 2.

$$a=5 b=-3$$

Omskriv -x^{2}+2x+15 som \left(-x^{2}+5x\right)+\left(-3x+15\right).

$$\left(-x^{2}+5x\right)+\left(-3x+15\right)$$

Ud-x i den første og -3 i den anden gruppe.

$$-x\left(x-5\right)-3\left(x-5\right)$$

Udfaktoriser fællesleddet x-5 ved hjælp af fordelingsegenskaben.

$$\left(x-5\right)\left(-x-3\right)$$

Løs x-5=0 og -x-3=0 for at finde Lignings løsninger.

$$x=5 x=-3$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Alle ligninger i formatet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formel giver to løsninger: Én løsning, når ± er addition, og én anden løsning, når det er subtraktion.

$$-x^{2}+2x+15=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat -1 med a, 2 med b og 15 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-2±\sqrt{2^{2}-4\left(-1\right)\times 15}}{2\left(-1\right)}$$

Kvadrér 2.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4-4\left(-1\right)\times 15}}{2\left(-1\right)}$$

Multiplicer -4 gange -1.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4+4\times 15}}{2\left(-1\right)}$$

Multiplicer 4 gange 15.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4+60}}{2\left(-1\right)}$$

Adder 4 til 60.

$$x=\frac{-2±\sqrt{64}}{2\left(-1\right)}$$

Tag kvadratroden af 64.

$$x=\frac{-2±8}{2\left(-1\right)}$$

Multiplicer 2 gange -1.

$$x=\frac{-2±8}{-2}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{-2±8}{-2} når ± er plus. Adder -2 til 8.

$$x=\frac{6}{-2}$$

Divider 6 med -2.

$$x=-3$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{-2±8}{-2} når ± er minus. Subtraher 8 fra -2.

$$x=-\frac{10}{-2}$$

Divider -10 med -2.

$$x=5$$

Ligningen er nu løst.

$$x=-3 x=5$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Kvadratligninger som denne kan løses ved at fuldføre kvadratet. Ligningen skal først være i formlen x^{2}+bx=c for at fuldføre kvadratet.

$$-x^{2}+2x+15=0$$

Subtraher 15 fra begge sider af ligningen.

$$-x^{2}+2x+15-15=-15$$

Hvis 15 subtraheres fra sig selv, giver det 0.

$$-x^{2}+2x=-15$$

Divider begge sider med -1.

$$\frac{-x^{2}+2x}{-1}=-\frac{15}{-1}$$

Division med -1 annullerer multiplikationen med -1.

$$x^{2}+\frac{2}{-1}x=-\frac{15}{-1}$$

Divider 2 med -1.

$$x^{2}-2x=-\frac{15}{-1}$$

Divider -15 med -1.

$$x^{2}-2x=15$$

Divider -2, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få -1. Adder derefter kvadratet af -1 på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$x^{2}-2x+1=15+1$$

Adder 15 til 1.

$$x^{2}-2x+1=16$$

Faktor x^{2}-2x+1. Generelt kan det altid faktoreres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}, når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat.

$$\left(x-1\right)^{2}=16$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(x-1\right)^{2}}=\sqrt{16}$$

Forenkling.

$$x-1=4 x-1=-4$$

Adder 1 på begge sider af ligningen.

$$x=5 x=-3$$