Løs -9x^2+18x+68=0

$$- 9 x ^ { 2 } + 18 x + 68 = 0$$

Løs for x

$$x=\frac{\sqrt{77}}{3}+1\approx 3,924988129$$

$$x=-\frac{\sqrt{77}}{3}+1\approx -1,924988129$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Alle ligninger i formatet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formel giver to løsninger: Én løsning, når ± er addition, og én anden løsning, når det er subtraktion.

$$-9x^{2}+18x+68=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat -9 med a, 18 med b og 68 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-18±\sqrt{18^{2}-4\left(-9\right)\times 68}}{2\left(-9\right)}$$

Kvadrér 18.

$$x=\frac{-18±\sqrt{324-4\left(-9\right)\times 68}}{2\left(-9\right)}$$

Multiplicer -4 gange -9.

$$x=\frac{-18±\sqrt{324+36\times 68}}{2\left(-9\right)}$$

Multiplicer 36 gange 68.

$$x=\frac{-18±\sqrt{324+2448}}{2\left(-9\right)}$$

Adder 324 til 2448.

$$x=\frac{-18±\sqrt{2772}}{2\left(-9\right)}$$

Tag kvadratroden af 2772.

$$x=\frac{-18±6\sqrt{77}}{2\left(-9\right)}$$

Multiplicer 2 gange -9.

$$x=\frac{-18±6\sqrt{77}}{-18}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{-18±6\sqrt{77}}{-18} når ± er plus. Adder -18 til 6\sqrt{77}.

$$x=\frac{6\sqrt{77}-18}{-18}$$

Divider -18+6\sqrt{77} med -18.

$$x=-\frac{\sqrt{77}}{3}+1$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{-18±6\sqrt{77}}{-18} når ± er minus. Subtraher 6\sqrt{77} fra -18.

$$x=\frac{-6\sqrt{77}-18}{-18}$$

Divider -18-6\sqrt{77} med -18.

$$x=\frac{\sqrt{77}}{3}+1$$

Ligningen er nu løst.

$$x=-\frac{\sqrt{77}}{3}+1 x=\frac{\sqrt{77}}{3}+1$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Kvadratligninger som denne kan løses ved at fuldføre kvadratet. Ligningen skal først være i formlen x^{2}+bx=c for at fuldføre kvadratet.

$$-9x^{2}+18x+68=0$$

Subtraher 68 fra begge sider af ligningen.

$$-9x^{2}+18x+68-68=-68$$

Hvis 68 subtraheres fra sig selv, giver det 0.

$$-9x^{2}+18x=-68$$

Divider begge sider med -9.

$$\frac{-9x^{2}+18x}{-9}=-\frac{68}{-9}$$

Division med -9 annullerer multiplikationen med -9.

$$x^{2}+\frac{18}{-9}x=-\frac{68}{-9}$$

Divider 18 med -9.

$$x^{2}-2x=-\frac{68}{-9}$$

Divider -68 med -9.

$$x^{2}-2x=\frac{68}{9}$$

Divider -2, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få -1. Adder derefter kvadratet af -1 på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$x^{2}-2x+1=\frac{68}{9}+1$$

Adder \frac{68}{9} til 1.

$$x^{2}-2x+1=\frac{77}{9}$$

Faktor x^{2}-2x+1. Generelt kan det altid faktoreres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}, når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat.

$$\left(x-1\right)^{2}=\frac{77}{9}$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(x-1\right)^{2}}=\sqrt{\frac{77}{9}}$$

Forenkling.

$$x-1=\frac{\sqrt{77}}{3} x-1=-\frac{\sqrt{77}}{3}$$

Adder 1 på begge sider af ligningen.

$$x=\frac{\sqrt{77}}{3}+1 x=-\frac{\sqrt{77}}{3}+1$$