Løs -9x^2+12x-3=0

$$- 9 x ^ { 2 } + 12 x - 3 = 0$$

Løs for x

$$x=1$$

$$x=\frac{1}{3}\approx 0,333333333$$

Vejledning i faktorisering ved gruppering

Divider begge sider med 3.

$$-3x^{2}+4x-1=0$$

Hvis du vil løse ligningen, skal du faktor venstre side ved at gruppere. For det første skal venstre side ikke skrives som -3x^{2}+ax+bx-1. Hvis du vil finde a og b, skal du konfigurere et system, der skal løses.

$$a+b=4 ab=-3\left(-1\right)=3$$

Da ab er positivt, skal a og b have samme fortegn. Da a+b er positivt, er a og b begge positive. Det eneste par af den slags er systemløsningen.

$$a=3 b=1$$

Omskriv -3x^{2}+4x-1 som \left(-3x^{2}+3x\right)+\left(x-1\right).

$$\left(-3x^{2}+3x\right)+\left(x-1\right)$$

Ud3x i den første og -1 i den anden gruppe.

$$3x\left(-x+1\right)-\left(-x+1\right)$$

Udfaktoriser fællesleddet -x+1 ved hjælp af fordelingsegenskaben.

$$\left(-x+1\right)\left(3x-1\right)$$

Løs -x+1=0 og 3x-1=0 for at finde Lignings løsninger.

$$x=1 x=\frac{1}{3}$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Alle ligninger i formatet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formel giver to løsninger: Én løsning, når ± er addition, og én anden løsning, når det er subtraktion.

$$-9x^{2}+12x-3=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat -9 med a, 12 med b og -3 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-12±\sqrt{12^{2}-4\left(-9\right)\left(-3\right)}}{2\left(-9\right)}$$

Kvadrér 12.

$$x=\frac{-12±\sqrt{144-4\left(-9\right)\left(-3\right)}}{2\left(-9\right)}$$

Multiplicer -4 gange -9.

$$x=\frac{-12±\sqrt{144+36\left(-3\right)}}{2\left(-9\right)}$$

Multiplicer 36 gange -3.

$$x=\frac{-12±\sqrt{144-108}}{2\left(-9\right)}$$

Adder 144 til -108.

$$x=\frac{-12±\sqrt{36}}{2\left(-9\right)}$$

Tag kvadratroden af 36.

$$x=\frac{-12±6}{2\left(-9\right)}$$

Multiplicer 2 gange -9.

$$x=\frac{-12±6}{-18}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{-12±6}{-18} når ± er plus. Adder -12 til 6.

$$x=-\frac{6}{-18}$$

Reducer fraktionen \frac{-6}{-18} til de laveste led ved at udtrække og annullere 6.

$$x=\frac{1}{3}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{-12±6}{-18} når ± er minus. Subtraher 6 fra -12.

$$x=-\frac{18}{-18}$$

Divider -18 med -18.

$$x=1$$

Ligningen er nu løst.

$$x=\frac{1}{3} x=1$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Kvadratligninger som denne kan løses ved at fuldføre kvadratet. Ligningen skal først være i formlen x^{2}+bx=c for at fuldføre kvadratet.

$$-9x^{2}+12x-3=0$$

Adder 3 på begge sider af ligningen.

$$-9x^{2}+12x-3-\left(-3\right)=-\left(-3\right)$$

Hvis -3 subtraheres fra sig selv, giver det 0.

$$-9x^{2}+12x=-\left(-3\right)$$

Subtraher -3 fra 0.

$$-9x^{2}+12x=3$$

Divider begge sider med -9.

$$\frac{-9x^{2}+12x}{-9}=\frac{3}{-9}$$

Division med -9 annullerer multiplikationen med -9.

$$x^{2}+\frac{12}{-9}x=\frac{3}{-9}$$

Reducer fraktionen \frac{12}{-9} til de laveste led ved at udtrække og annullere 3.

$$x^{2}-\frac{4}{3}x=\frac{3}{-9}$$

Reducer fraktionen \frac{3}{-9} til de laveste led ved at udtrække og annullere 3.

$$x^{2}-\frac{4}{3}x=-\frac{1}{3}$$

Divider -\frac{4}{3}, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få -\frac{2}{3}. Adder derefter kvadratet af -\frac{2}{3} på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$x^{2}-\frac{4}{3}x+\left(-\frac{2}{3}\right)^{2}=-\frac{1}{3}+\left(-\frac{2}{3}\right)^{2}$$

Du kan kvadrere -\frac{2}{3} ved at kvadrere både tælleren og nævneren i brøken.

$$x^{2}-\frac{4}{3}x+\frac{4}{9}=-\frac{1}{3}+\frac{4}{9}$$

Føj -\frac{1}{3} til \frac{4}{9} ved at finde en fællesnævner og tilføje tællere. Reducer derefter brøken til de mindste led, hvis det er muligt.

$$x^{2}-\frac{4}{3}x+\frac{4}{9}=\frac{1}{9}$$

Faktor x^{2}-\frac{4}{3}x+\frac{4}{9}. Generelt kan det altid faktoreres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}, når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat.

$$\left(x-\frac{2}{3}\right)^{2}=\frac{1}{9}$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(x-\frac{2}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1}{9}}$$

Forenkling.

$$x-\frac{2}{3}=\frac{1}{3} x-\frac{2}{3}=-\frac{1}{3}$$

Adder \frac{2}{3} på begge sider af ligningen.

$$x=1 x=\frac{1}{3}$$