Løs -5x^2+9x=-3

$$- 5 x ^ { 2 } + 9 x = - 3$$

Løs for x

$$x = \frac{\sqrt{141} + 9}{10} \approx 2,087434209$$

$$x=\frac{9-\sqrt{141}}{10}\approx -0,287434209$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Alle ligninger i formatet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formel giver to løsninger: Én løsning, når ± er addition, og én anden løsning, når det er subtraktion.

$$-5x^{2}+9x=-3$$

Adder 3 på begge sider af ligningen.

$$-5x^{2}+9x-\left(-3\right)=-3-\left(-3\right)$$

Hvis -3 subtraheres fra sig selv, giver det 0.

$$-5x^{2}+9x-\left(-3\right)=0$$

Subtraher -3 fra 0.

$$-5x^{2}+9x+3=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat -5 med a, 9 med b og 3 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-9±\sqrt{9^{2}-4\left(-5\right)\times 3}}{2\left(-5\right)}$$

Kvadrér 9.

$$x=\frac{-9±\sqrt{81-4\left(-5\right)\times 3}}{2\left(-5\right)}$$

Multiplicer -4 gange -5.

$$x=\frac{-9±\sqrt{81+20\times 3}}{2\left(-5\right)}$$

Multiplicer 20 gange 3.

$$x=\frac{-9±\sqrt{81+60}}{2\left(-5\right)}$$

Adder 81 til 60.

$$x=\frac{-9±\sqrt{141}}{2\left(-5\right)}$$

Multiplicer 2 gange -5.

$$x=\frac{-9±\sqrt{141}}{-10}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{-9±\sqrt{141}}{-10} når ± er plus. Adder -9 til \sqrt{141}.

$$x=\frac{\sqrt{141}-9}{-10}$$

Divider -9+\sqrt{141} med -10.

$$x=\frac{9-\sqrt{141}}{10}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{-9±\sqrt{141}}{-10} når ± er minus. Subtraher \sqrt{141} fra -9.

$$x=\frac{-\sqrt{141}-9}{-10}$$

Divider -9-\sqrt{141} med -10.

$$x=\frac{\sqrt{141}+9}{10}$$

Ligningen er nu løst.

$$x=\frac{9-\sqrt{141}}{10} x=\frac{\sqrt{141}+9}{10}$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Kvadratligninger som denne kan løses ved at fuldføre kvadratet. Ligningen skal først være i formlen x^{2}+bx=c for at fuldføre kvadratet.

$$-5x^{2}+9x=-3$$

Divider begge sider med -5.

$$\frac{-5x^{2}+9x}{-5}=-\frac{3}{-5}$$

Division med -5 annullerer multiplikationen med -5.

$$x^{2}+\frac{9}{-5}x=-\frac{3}{-5}$$

Divider 9 med -5.

$$x^{2}-\frac{9}{5}x=-\frac{3}{-5}$$

Divider -3 med -5.

$$x^{2}-\frac{9}{5}x=\frac{3}{5}$$

Divider -\frac{9}{5}, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få -\frac{9}{10}. Adder derefter kvadratet af -\frac{9}{10} på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$x^{2}-\frac{9}{5}x+\left(-\frac{9}{10}\right)^{2}=\frac{3}{5}+\left(-\frac{9}{10}\right)^{2}$$

Du kan kvadrere -\frac{9}{10} ved at kvadrere både tælleren og nævneren i brøken.

$$x^{2}-\frac{9}{5}x+\frac{81}{100}=\frac{3}{5}+\frac{81}{100}$$

Føj \frac{3}{5} til \frac{81}{100} ved at finde en fællesnævner og tilføje tællere. Reducer derefter brøken til de mindste led, hvis det er muligt.

$$x^{2}-\frac{9}{5}x+\frac{81}{100}=\frac{141}{100}$$

Faktor x^{2}-\frac{9}{5}x+\frac{81}{100}. Generelt kan det altid faktoreres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}, når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat.

$$\left(x-\frac{9}{10}\right)^{2}=\frac{141}{100}$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(x-\frac{9}{10}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{141}{100}}$$

Forenkling.

$$x-\frac{9}{10}=\frac{\sqrt{141}}{10} x-\frac{9}{10}=-\frac{\sqrt{141}}{10}$$

Adder \frac{9}{10} på begge sider af ligningen.

$$x=\frac{\sqrt{141}+9}{10} x=\frac{9-\sqrt{141}}{10}$$