Løs -5x^2+9x+2>0

$$- 5 x ^ { 2 } + 9 x + 2 > 0$$

Løs for x

$$x\in \left(-\frac{1}{5},2\right)$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Multiplicerer uligheden med -1 for at gøre koefficienten af den højeste potens i -5x^{2}+9x+2 positiv. Da -1 er negativt, ændres retningen for ulighed.

$$5x^{2}-9x-2<0$$

For at løse uligheden skal du faktorisere venstre side. Kvadratisk polynomium kan faktoriseres ved hjælp af transformeringen ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), hvor x_{1} og x_{2} er løsninger af den kvadratiske ligning ax^{2}+bx+c=0.

$$5x^{2}-9x-2=0$$

Alle ligninger i formlen ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Erstat 5 med a, -9 med b, og -2 med c i den kvadratiske formel.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{\left(-9\right)^{2}-4\times 5\left(-2\right)}}{2\times 5}$$

Lav beregningerne.

$$x=\frac{9±11}{10}$$

Løs ligningen x=\frac{9±11}{10} når ± er plus, og når ± er minus.

$$x=2 x=-\frac{1}{5}$$

Omskriv uligheden ved hjælp af de hentede løsninger.

$$5\left(x-2\right)\left(x+\frac{1}{5}\right)<0$$

For at produktet bliver negativt, skal x-2 og x+\frac{1}{5} have modsatte tegn. Overvej sagen, når x-2 er positiv og x+\frac{1}{5} er negativ.

$$x-2>0 x+\frac{1}{5}<0$$

Dette er falsk for alle x.

$$x\in \emptyset$$

Overvej sagen, når x+\frac{1}{5} er positiv og x-2 er negativ.

$$x+\frac{1}{5}>0 x-2<0$$

Løsningen, der opfylder begge uligheder, er x\in \left(-\frac{1}{5},2\right).

$$x\in \left(-\frac{1}{5},2\right)$$

Den endelige løsning er foreningen af de hentede løsninger.

$$x\in \left(-\frac{1}{5},2\right)$$