Løs -4x^2-x+3=0

$$- 4 x ^ { 2 } - x + 3 = 0$$

Løs for x

$$x=-1$$

$$x=\frac{3}{4}=0,75$$

Vejledning i faktorisering ved gruppering

Hvis du vil løse ligningen, skal du faktor venstre side ved at gruppere. For det første skal venstre side ikke skrives som -4x^{2}+ax+bx+3. Hvis du vil finde a og b, skal du konfigurere et system, der skal løses.

$$a+b=-1 ab=-4\times 3=-12$$

Da ab er negative, skal a og b have de modsatte tegn. Da a+b er negativt, har det negative tal en højere absolut værdi end det positive. Vis alle disse heltals par, der giver produkt -12.

$$1,-12 2,-6 3,-4$$

Beregn summen af hvert par.

$$1-12=-11 2-6=-4 3-4=-1$$

Løsningen er det par, der får summen -1.

$$a=3 b=-4$$

Omskriv -4x^{2}-x+3 som \left(-4x^{2}+3x\right)+\left(-4x+3\right).

$$\left(-4x^{2}+3x\right)+\left(-4x+3\right)$$

Ud-x i den første og -1 i den anden gruppe.

$$-x\left(4x-3\right)-\left(4x-3\right)$$

Udfaktoriser fællesleddet 4x-3 ved hjælp af fordelingsegenskaben.

$$\left(4x-3\right)\left(-x-1\right)$$

Løs 4x-3=0 og -x-1=0 for at finde Lignings løsninger.

$$x=\frac{3}{4} x=-1$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Alle ligninger i formatet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formel giver to løsninger: Én løsning, når ± er addition, og én anden løsning, når det er subtraktion.

$$-4x^{2}-x+3=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat -4 med a, -1 med b og 3 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-4\left(-4\right)\times 3}}{2\left(-4\right)}$$

Multiplicer -4 gange -4.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1+16\times 3}}{2\left(-4\right)}$$

Multiplicer 16 gange 3.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1+48}}{2\left(-4\right)}$$

Adder 1 til 48.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{49}}{2\left(-4\right)}$$

Tag kvadratroden af 49.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±7}{2\left(-4\right)}$$

Det modsatte af -1 er 1.

$$x=\frac{1±7}{2\left(-4\right)}$$

Multiplicer 2 gange -4.

$$x=\frac{1±7}{-8}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{1±7}{-8} når ± er plus. Adder 1 til 7.

$$x=\frac{8}{-8}$$

Divider 8 med -8.

$$x=-1$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{1±7}{-8} når ± er minus. Subtraher 7 fra 1.

$$x=-\frac{6}{-8}$$

Reducer fraktionen \frac{-6}{-8} til de laveste led ved at udtrække og annullere 2.

$$x=\frac{3}{4}$$

Ligningen er nu løst.

$$x=-1 x=\frac{3}{4}$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Kvadratligninger som denne kan løses ved at fuldføre kvadratet. Ligningen skal først være i formlen x^{2}+bx=c for at fuldføre kvadratet.

$$-4x^{2}-x+3=0$$

Subtraher 3 fra begge sider af ligningen.

$$-4x^{2}-x+3-3=-3$$

Hvis 3 subtraheres fra sig selv, giver det 0.

$$-4x^{2}-x=-3$$

Divider begge sider med -4.

$$\frac{-4x^{2}-x}{-4}=-\frac{3}{-4}$$

Division med -4 annullerer multiplikationen med -4.

$$x^{2}+\left(-\frac{1}{-4}\right)x=-\frac{3}{-4}$$

Divider -1 med -4.

$$x^{2}+\frac{1}{4}x=-\frac{3}{-4}$$

Divider -3 med -4.

$$x^{2}+\frac{1}{4}x=\frac{3}{4}$$

Divider \frac{1}{4}, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få \frac{1}{8}. Adder derefter kvadratet af \frac{1}{8} på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$x^{2}+\frac{1}{4}x+\left(\frac{1}{8}\right)^{2}=\frac{3}{4}+\left(\frac{1}{8}\right)^{2}$$

Du kan kvadrere \frac{1}{8} ved at kvadrere både tælleren og nævneren i brøken.

$$x^{2}+\frac{1}{4}x+\frac{1}{64}=\frac{3}{4}+\frac{1}{64}$$

Føj \frac{3}{4} til \frac{1}{64} ved at finde en fællesnævner og tilføje tællere. Reducer derefter brøken til de mindste led, hvis det er muligt.

$$x^{2}+\frac{1}{4}x+\frac{1}{64}=\frac{49}{64}$$

Faktor x^{2}+\frac{1}{4}x+\frac{1}{64}. Generelt kan det altid faktoreres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}, når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat.

$$\left(x+\frac{1}{8}\right)^{2}=\frac{49}{64}$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{8}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{64}}$$

Forenkling.

$$x+\frac{1}{8}=\frac{7}{8} x+\frac{1}{8}=-\frac{7}{8}$$

Subtraher \frac{1}{8} fra begge sider af ligningen.

$$x=\frac{3}{4} x=-1$$