Løs -4b^2+22b-4=0

$$- 4 b ^ { 2 } + 22 b - 4 = 0$$

Løs for b

$$b = \frac{\sqrt{105} + 11}{4} \approx 5,311737691$$

$$b=\frac{11-\sqrt{105}}{4}\approx 0,188262309$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Alle ligninger i formatet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formel giver to løsninger: Én løsning, når ± er addition, og én anden løsning, når det er subtraktion.

$$-4b^{2}+22b-4=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat -4 med a, 22 med b og -4 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$b=\frac{-22±\sqrt{22^{2}-4\left(-4\right)\left(-4\right)}}{2\left(-4\right)}$$

Kvadrér 22.

$$b=\frac{-22±\sqrt{484-4\left(-4\right)\left(-4\right)}}{2\left(-4\right)}$$

Multiplicer -4 gange -4.

$$b=\frac{-22±\sqrt{484+16\left(-4\right)}}{2\left(-4\right)}$$

Multiplicer 16 gange -4.

$$b=\frac{-22±\sqrt{484-64}}{2\left(-4\right)}$$

Adder 484 til -64.

$$b=\frac{-22±\sqrt{420}}{2\left(-4\right)}$$

Tag kvadratroden af 420.

$$b=\frac{-22±2\sqrt{105}}{2\left(-4\right)}$$

Multiplicer 2 gange -4.

$$b=\frac{-22±2\sqrt{105}}{-8}$$

Nu skal du løse ligningen, b=\frac{-22±2\sqrt{105}}{-8} når ± er plus. Adder -22 til 2\sqrt{105}.

$$b=\frac{2\sqrt{105}-22}{-8}$$

Divider -22+2\sqrt{105} med -8.

$$b=\frac{11-\sqrt{105}}{4}$$

Nu skal du løse ligningen, b=\frac{-22±2\sqrt{105}}{-8} når ± er minus. Subtraher 2\sqrt{105} fra -22.

$$b=\frac{-2\sqrt{105}-22}{-8}$$

Divider -22-2\sqrt{105} med -8.

$$b=\frac{\sqrt{105}+11}{4}$$

Ligningen er nu løst.

$$b=\frac{11-\sqrt{105}}{4} b=\frac{\sqrt{105}+11}{4}$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Kvadratligninger som denne kan løses ved at fuldføre kvadratet. Ligningen skal først være i formlen x^{2}+bx=c for at fuldføre kvadratet.

$$-4b^{2}+22b-4=0$$

Adder 4 på begge sider af ligningen.

$$-4b^{2}+22b-4-\left(-4\right)=-\left(-4\right)$$

Hvis -4 subtraheres fra sig selv, giver det 0.

$$-4b^{2}+22b=-\left(-4\right)$$

Subtraher -4 fra 0.

$$-4b^{2}+22b=4$$

Divider begge sider med -4.

$$\frac{-4b^{2}+22b}{-4}=\frac{4}{-4}$$

Division med -4 annullerer multiplikationen med -4.

$$b^{2}+\frac{22}{-4}b=\frac{4}{-4}$$

Reducer fraktionen \frac{22}{-4} til de laveste led ved at udtrække og annullere 2.

$$b^{2}-\frac{11}{2}b=\frac{4}{-4}$$

Divider 4 med -4.

$$b^{2}-\frac{11}{2}b=-1$$

Divider -\frac{11}{2}, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få -\frac{11}{4}. Adder derefter kvadratet af -\frac{11}{4} på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$b^{2}-\frac{11}{2}b+\left(-\frac{11}{4}\right)^{2}=-1+\left(-\frac{11}{4}\right)^{2}$$

Du kan kvadrere -\frac{11}{4} ved at kvadrere både tælleren og nævneren i brøken.

$$b^{2}-\frac{11}{2}b+\frac{121}{16}=-1+\frac{121}{16}$$

Adder -1 til \frac{121}{16}.

$$b^{2}-\frac{11}{2}b+\frac{121}{16}=\frac{105}{16}$$

Faktor b^{2}-\frac{11}{2}b+\frac{121}{16}. Generelt kan det altid faktoreres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}, når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat.

$$\left(b-\frac{11}{4}\right)^{2}=\frac{105}{16}$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(b-\frac{11}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{105}{16}}$$

Forenkling.

$$b-\frac{11}{4}=\frac{\sqrt{105}}{4} b-\frac{11}{4}=-\frac{\sqrt{105}}{4}$$

Adder \frac{11}{4} på begge sider af ligningen.

$$b=\frac{\sqrt{105}+11}{4} b=\frac{11-\sqrt{105}}{4}$$