Løs -4a^2-5a+1=0

$$- 4 a ^ { 2 } - 5 a + 1 = 0$$

Løs for a

$$a=\frac{\sqrt{41}-5}{8}\approx 0,17539053$$

$$a=\frac{-\sqrt{41}-5}{8}\approx -1,42539053$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Alle ligninger i formatet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formel giver to løsninger: Én løsning, når ± er addition, og én anden løsning, når det er subtraktion.

$$-4a^{2}-5a+1=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat -4 med a, -5 med b og 1 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$a=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{\left(-5\right)^{2}-4\left(-4\right)}}{2\left(-4\right)}$$

Kvadrér -5.

$$a=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-4\left(-4\right)}}{2\left(-4\right)}$$

Multiplicer -4 gange -4.

$$a=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25+16}}{2\left(-4\right)}$$

Adder 25 til 16.

$$a=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{41}}{2\left(-4\right)}$$

Det modsatte af -5 er 5.

$$a=\frac{5±\sqrt{41}}{2\left(-4\right)}$$

Multiplicer 2 gange -4.

$$a=\frac{5±\sqrt{41}}{-8}$$

Nu skal du løse ligningen, a=\frac{5±\sqrt{41}}{-8} når ± er plus. Adder 5 til \sqrt{41}.

$$a=\frac{\sqrt{41}+5}{-8}$$

Divider 5+\sqrt{41} med -8.

$$a=\frac{-\sqrt{41}-5}{8}$$

Nu skal du løse ligningen, a=\frac{5±\sqrt{41}}{-8} når ± er minus. Subtraher \sqrt{41} fra 5.

$$a=\frac{5-\sqrt{41}}{-8}$$

Divider 5-\sqrt{41} med -8.

$$a=\frac{\sqrt{41}-5}{8}$$

Ligningen er nu løst.

$$a=\frac{-\sqrt{41}-5}{8} a=\frac{\sqrt{41}-5}{8}$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Kvadratligninger som denne kan løses ved at fuldføre kvadratet. Ligningen skal først være i formlen x^{2}+bx=c for at fuldføre kvadratet.

$$-4a^{2}-5a+1=0$$

Subtraher 1 fra begge sider af ligningen.

$$-4a^{2}-5a+1-1=-1$$

Hvis 1 subtraheres fra sig selv, giver det 0.

$$-4a^{2}-5a=-1$$

Divider begge sider med -4.

$$\frac{-4a^{2}-5a}{-4}=-\frac{1}{-4}$$

Division med -4 annullerer multiplikationen med -4.

$$a^{2}+\left(-\frac{5}{-4}\right)a=-\frac{1}{-4}$$

Divider -5 med -4.

$$a^{2}+\frac{5}{4}a=-\frac{1}{-4}$$

Divider -1 med -4.

$$a^{2}+\frac{5}{4}a=\frac{1}{4}$$

Divider \frac{5}{4}, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få \frac{5}{8}. Adder derefter kvadratet af \frac{5}{8} på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$a^{2}+\frac{5}{4}a+\left(\frac{5}{8}\right)^{2}=\frac{1}{4}+\left(\frac{5}{8}\right)^{2}$$

Du kan kvadrere \frac{5}{8} ved at kvadrere både tælleren og nævneren i brøken.

$$a^{2}+\frac{5}{4}a+\frac{25}{64}=\frac{1}{4}+\frac{25}{64}$$

Føj \frac{1}{4} til \frac{25}{64} ved at finde en fællesnævner og tilføje tællere. Reducer derefter brøken til de mindste led, hvis det er muligt.

$$a^{2}+\frac{5}{4}a+\frac{25}{64}=\frac{41}{64}$$

Faktor a^{2}+\frac{5}{4}a+\frac{25}{64}. Generelt kan det altid faktoreres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}, når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat.

$$\left(a+\frac{5}{8}\right)^{2}=\frac{41}{64}$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(a+\frac{5}{8}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{41}{64}}$$

Forenkling.

$$a+\frac{5}{8}=\frac{\sqrt{41}}{8} a+\frac{5}{8}=-\frac{\sqrt{41}}{8}$$

Subtraher \frac{5}{8} fra begge sider af ligningen.

$$a=\frac{\sqrt{41}-5}{8} a=\frac{-\sqrt{41}-5}{8}$$