Løs -3x^2-24x-51=0

$$- 3 x ^ { 2 } - 24 x - 51 = 0$$

Løs for x (complex solution)

$$x=-4+i$$

$$x=-4-i$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Alle ligninger i formatet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formel giver to løsninger: Én løsning, når ± er addition, og én anden løsning, når det er subtraktion.

$$-3x^{2}-24x-51=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat -3 med a, -24 med b og -51 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{\left(-24\right)^{2}-4\left(-3\right)\left(-51\right)}}{2\left(-3\right)}$$

Kvadrér -24.

$$x=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{576-4\left(-3\right)\left(-51\right)}}{2\left(-3\right)}$$

Multiplicer -4 gange -3.

$$x=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{576+12\left(-51\right)}}{2\left(-3\right)}$$

Multiplicer 12 gange -51.

$$x=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{576-612}}{2\left(-3\right)}$$

Adder 576 til -612.

$$x=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{-36}}{2\left(-3\right)}$$

Tag kvadratroden af -36.

$$x=\frac{-\left(-24\right)±6i}{2\left(-3\right)}$$

Det modsatte af -24 er 24.

$$x=\frac{24±6i}{2\left(-3\right)}$$

Multiplicer 2 gange -3.

$$x=\frac{24±6i}{-6}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{24±6i}{-6} når ± er plus. Adder 24 til 6i.

$$x=\frac{24+6i}{-6}$$

Divider 24+6i med -6.

$$x=-4-i$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{24±6i}{-6} når ± er minus. Subtraher 6i fra 24.

$$x=\frac{24-6i}{-6}$$

Divider 24-6i med -6.

$$x=-4+i$$

Ligningen er nu løst.

$$x=-4-i x=-4+i$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Kvadratligninger som denne kan løses ved at fuldføre kvadratet. Ligningen skal først være i formlen x^{2}+bx=c for at fuldføre kvadratet.

$$-3x^{2}-24x-51=0$$

Adder 51 på begge sider af ligningen.

$$-3x^{2}-24x-51-\left(-51\right)=-\left(-51\right)$$

Hvis -51 subtraheres fra sig selv, giver det 0.

$$-3x^{2}-24x=-\left(-51\right)$$

Subtraher -51 fra 0.

$$-3x^{2}-24x=51$$

Divider begge sider med -3.

$$\frac{-3x^{2}-24x}{-3}=\frac{51}{-3}$$

Division med -3 annullerer multiplikationen med -3.

$$x^{2}+\left(-\frac{24}{-3}\right)x=\frac{51}{-3}$$

Divider -24 med -3.

$$x^{2}+8x=\frac{51}{-3}$$

Divider 51 med -3.

$$x^{2}+8x=-17$$

Divider 8, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få 4. Adder derefter kvadratet af 4 på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$x^{2}+8x+4^{2}=-17+4^{2}$$

Kvadrér 4.

$$x^{2}+8x+16=-17+16$$

Adder -17 til 16.

$$x^{2}+8x+16=-1$$

Faktoriser x^{2}+8x+16. Når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat, kan det generelt altid faktoriseres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+4\right)^{2}=-1$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(x+4\right)^{2}}=\sqrt{-1}$$

Forenkling.

$$x+4=i x+4=-i$$

Subtraher 4 fra begge sider af ligningen.

$$x=-4+i x=-4-i$$