Løs -3x^2+51x-156=0

$$- 3 x ^ { 2 } + 51 x - 156 = 0$$

Løs for x

$$x=4$$

$$x=13$$

Vejledning i faktorisering ved gruppering

Divider begge sider med 3.

$$-x^{2}+17x-52=0$$

Hvis du vil løse ligningen, skal du faktor venstre side ved at gruppere. For det første skal venstre side ikke skrives som -x^{2}+ax+bx-52. Hvis du vil finde a og b, skal du konfigurere et system, der skal løses.

$$a+b=17 ab=-\left(-52\right)=52$$

Da ab er positivt, skal a og b have samme fortegn. Da a+b er positivt, er a og b begge positive. Vis alle disse heltals par, der giver produkt 52.

$$1,52 2,26 4,13$$

Beregn summen af hvert par.

$$1+52=53 2+26=28 4+13=17$$

Løsningen er det par, der får summen 17.

$$a=13 b=4$$

Omskriv -x^{2}+17x-52 som \left(-x^{2}+13x\right)+\left(4x-52\right).

$$\left(-x^{2}+13x\right)+\left(4x-52\right)$$

Ud-x i den første og 4 i den anden gruppe.

$$-x\left(x-13\right)+4\left(x-13\right)$$

Udfaktoriser fællesleddet x-13 ved hjælp af fordelingsegenskaben.

$$\left(x-13\right)\left(-x+4\right)$$

Løs x-13=0 og -x+4=0 for at finde Lignings løsninger.

$$x=13 x=4$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Alle ligninger i formatet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formel giver to løsninger: Én løsning, når ± er addition, og én anden løsning, når det er subtraktion.

$$-3x^{2}+51x-156=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat -3 med a, 51 med b og -156 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-51±\sqrt{51^{2}-4\left(-3\right)\left(-156\right)}}{2\left(-3\right)}$$

Kvadrér 51.

$$x=\frac{-51±\sqrt{2601-4\left(-3\right)\left(-156\right)}}{2\left(-3\right)}$$

Multiplicer -4 gange -3.

$$x=\frac{-51±\sqrt{2601+12\left(-156\right)}}{2\left(-3\right)}$$

Multiplicer 12 gange -156.

$$x=\frac{-51±\sqrt{2601-1872}}{2\left(-3\right)}$$

Adder 2601 til -1872.

$$x=\frac{-51±\sqrt{729}}{2\left(-3\right)}$$

Tag kvadratroden af 729.

$$x=\frac{-51±27}{2\left(-3\right)}$$

Multiplicer 2 gange -3.

$$x=\frac{-51±27}{-6}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{-51±27}{-6} når ± er plus. Adder -51 til 27.

$$x=-\frac{24}{-6}$$

Divider -24 med -6.

$$x=4$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{-51±27}{-6} når ± er minus. Subtraher 27 fra -51.

$$x=-\frac{78}{-6}$$

Divider -78 med -6.

$$x=13$$

Ligningen er nu løst.

$$x=4 x=13$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Kvadratligninger som denne kan løses ved at fuldføre kvadratet. Ligningen skal først være i formlen x^{2}+bx=c for at fuldføre kvadratet.

$$-3x^{2}+51x-156=0$$

Adder 156 på begge sider af ligningen.

$$-3x^{2}+51x-156-\left(-156\right)=-\left(-156\right)$$

Hvis -156 subtraheres fra sig selv, giver det 0.

$$-3x^{2}+51x=-\left(-156\right)$$

Subtraher -156 fra 0.

$$-3x^{2}+51x=156$$

Divider begge sider med -3.

$$\frac{-3x^{2}+51x}{-3}=\frac{156}{-3}$$

Division med -3 annullerer multiplikationen med -3.

$$x^{2}+\frac{51}{-3}x=\frac{156}{-3}$$

Divider 51 med -3.

$$x^{2}-17x=\frac{156}{-3}$$

Divider 156 med -3.

$$x^{2}-17x=-52$$

Divider -17, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få -\frac{17}{2}. Adder derefter kvadratet af -\frac{17}{2} på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$x^{2}-17x+\left(-\frac{17}{2}\right)^{2}=-52+\left(-\frac{17}{2}\right)^{2}$$

Du kan kvadrere -\frac{17}{2} ved at kvadrere både tælleren og nævneren i brøken.

$$x^{2}-17x+\frac{289}{4}=-52+\frac{289}{4}$$

Adder -52 til \frac{289}{4}.

$$x^{2}-17x+\frac{289}{4}=\frac{81}{4}$$

Faktor x^{2}-17x+\frac{289}{4}. Generelt kan det altid faktoreres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}, når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat.

$$\left(x-\frac{17}{2}\right)^{2}=\frac{81}{4}$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(x-\frac{17}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{81}{4}}$$

Forenkling.

$$x-\frac{17}{2}=\frac{9}{2} x-\frac{17}{2}=-\frac{9}{2}$$

Adder \frac{17}{2} på begge sider af ligningen.

$$x=13 x=4$$