Løs -3x^2+5x-4=0

$$- 3 x ^ { 2 } + 5 x - 4 = 0$$

Løs for x (complex solution)

$$x=\frac{-\sqrt{23}i+5}{6}\approx 0,833333333-0,799305254i$$

$$x=\frac{5+\sqrt{23}i}{6}\approx 0,833333333+0,799305254i$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Alle ligninger i formatet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formel giver to løsninger: Én løsning, når ± er addition, og én anden løsning, når det er subtraktion.

$$-3x^{2}+5x-4=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat -3 med a, 5 med b og -4 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-5±\sqrt{5^{2}-4\left(-3\right)\left(-4\right)}}{2\left(-3\right)}$$

Kvadrér 5.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-4\left(-3\right)\left(-4\right)}}{2\left(-3\right)}$$

Multiplicer -4 gange -3.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25+12\left(-4\right)}}{2\left(-3\right)}$$

Multiplicer 12 gange -4.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-48}}{2\left(-3\right)}$$

Adder 25 til -48.

$$x=\frac{-5±\sqrt{-23}}{2\left(-3\right)}$$

Tag kvadratroden af -23.

$$x=\frac{-5±\sqrt{23}i}{2\left(-3\right)}$$

Multiplicer 2 gange -3.

$$x=\frac{-5±\sqrt{23}i}{-6}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{-5±\sqrt{23}i}{-6} når ± er plus. Adder -5 til i\sqrt{23}.

$$x=\frac{-5+\sqrt{23}i}{-6}$$

Divider -5+i\sqrt{23} med -6.

$$x=\frac{-\sqrt{23}i+5}{6}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{-5±\sqrt{23}i}{-6} når ± er minus. Subtraher i\sqrt{23} fra -5.

$$x=\frac{-\sqrt{23}i-5}{-6}$$

Divider -5-i\sqrt{23} med -6.

$$x=\frac{5+\sqrt{23}i}{6}$$

Ligningen er nu løst.

$$x=\frac{-\sqrt{23}i+5}{6} x=\frac{5+\sqrt{23}i}{6}$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Kvadratligninger som denne kan løses ved at fuldføre kvadratet. Ligningen skal først være i formlen x^{2}+bx=c for at fuldføre kvadratet.

$$-3x^{2}+5x-4=0$$

Adder 4 på begge sider af ligningen.

$$-3x^{2}+5x-4-\left(-4\right)=-\left(-4\right)$$

Hvis -4 subtraheres fra sig selv, giver det 0.

$$-3x^{2}+5x=-\left(-4\right)$$

Subtraher -4 fra 0.

$$-3x^{2}+5x=4$$

Divider begge sider med -3.

$$\frac{-3x^{2}+5x}{-3}=\frac{4}{-3}$$

Division med -3 annullerer multiplikationen med -3.

$$x^{2}+\frac{5}{-3}x=\frac{4}{-3}$$

Divider 5 med -3.

$$x^{2}-\frac{5}{3}x=\frac{4}{-3}$$

Divider 4 med -3.

$$x^{2}-\frac{5}{3}x=-\frac{4}{3}$$

Divider -\frac{5}{3}, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få -\frac{5}{6}. Adder derefter kvadratet af -\frac{5}{6} på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$x^{2}-\frac{5}{3}x+\left(-\frac{5}{6}\right)^{2}=-\frac{4}{3}+\left(-\frac{5}{6}\right)^{2}$$

Du kan kvadrere -\frac{5}{6} ved at kvadrere både tælleren og nævneren i brøken.

$$x^{2}-\frac{5}{3}x+\frac{25}{36}=-\frac{4}{3}+\frac{25}{36}$$

Føj -\frac{4}{3} til \frac{25}{36} ved at finde en fællesnævner og tilføje tællere. Reducer derefter brøken til de mindste led, hvis det er muligt.

$$x^{2}-\frac{5}{3}x+\frac{25}{36}=-\frac{23}{36}$$

Faktor x^{2}-\frac{5}{3}x+\frac{25}{36}. Generelt kan det altid faktoreres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}, når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat.

$$\left(x-\frac{5}{6}\right)^{2}=-\frac{23}{36}$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{6}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{23}{36}}$$

Forenkling.

$$x-\frac{5}{6}=\frac{\sqrt{23}i}{6} x-\frac{5}{6}=-\frac{\sqrt{23}i}{6}$$

Adder \frac{5}{6} på begge sider af ligningen.

$$x=\frac{5+\sqrt{23}i}{6} x=\frac{-\sqrt{23}i+5}{6}$$