Løs -3x^2+5x-1=0

$$- 3 x ^ { 2 } + 5 x - 1 = 0$$

Løs for x

$$x = \frac{\sqrt{13} + 5}{6} \approx 1,434258546$$

$$x=\frac{5-\sqrt{13}}{6}\approx 0,232408121$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Alle ligninger i formatet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formel giver to løsninger: Én løsning, når ± er addition, og én anden løsning, når det er subtraktion.

$$-3x^{2}+5x-1=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat -3 med a, 5 med b og -1 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-5±\sqrt{5^{2}-4\left(-3\right)\left(-1\right)}}{2\left(-3\right)}$$

Kvadrér 5.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-4\left(-3\right)\left(-1\right)}}{2\left(-3\right)}$$

Multiplicer -4 gange -3.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25+12\left(-1\right)}}{2\left(-3\right)}$$

Multiplicer 12 gange -1.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-12}}{2\left(-3\right)}$$

Adder 25 til -12.

$$x=\frac{-5±\sqrt{13}}{2\left(-3\right)}$$

Multiplicer 2 gange -3.

$$x=\frac{-5±\sqrt{13}}{-6}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{-5±\sqrt{13}}{-6} når ± er plus. Adder -5 til \sqrt{13}.

$$x=\frac{\sqrt{13}-5}{-6}$$

Divider -5+\sqrt{13} med -6.

$$x=\frac{5-\sqrt{13}}{6}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{-5±\sqrt{13}}{-6} når ± er minus. Subtraher \sqrt{13} fra -5.

$$x=\frac{-\sqrt{13}-5}{-6}$$

Divider -5-\sqrt{13} med -6.

$$x=\frac{\sqrt{13}+5}{6}$$

Ligningen er nu løst.

$$x=\frac{5-\sqrt{13}}{6} x=\frac{\sqrt{13}+5}{6}$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Kvadratligninger som denne kan løses ved at fuldføre kvadratet. Ligningen skal først være i formlen x^{2}+bx=c for at fuldføre kvadratet.

$$-3x^{2}+5x-1=0$$

Adder 1 på begge sider af ligningen.

$$-3x^{2}+5x-1-\left(-1\right)=-\left(-1\right)$$

Hvis -1 subtraheres fra sig selv, giver det 0.

$$-3x^{2}+5x=-\left(-1\right)$$

Subtraher -1 fra 0.

$$-3x^{2}+5x=1$$

Divider begge sider med -3.

$$\frac{-3x^{2}+5x}{-3}=\frac{1}{-3}$$

Division med -3 annullerer multiplikationen med -3.

$$x^{2}+\frac{5}{-3}x=\frac{1}{-3}$$

Divider 5 med -3.

$$x^{2}-\frac{5}{3}x=\frac{1}{-3}$$

Divider 1 med -3.

$$x^{2}-\frac{5}{3}x=-\frac{1}{3}$$

Divider -\frac{5}{3}, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få -\frac{5}{6}. Adder derefter kvadratet af -\frac{5}{6} på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$x^{2}-\frac{5}{3}x+\left(-\frac{5}{6}\right)^{2}=-\frac{1}{3}+\left(-\frac{5}{6}\right)^{2}$$

Du kan kvadrere -\frac{5}{6} ved at kvadrere både tælleren og nævneren i brøken.

$$x^{2}-\frac{5}{3}x+\frac{25}{36}=-\frac{1}{3}+\frac{25}{36}$$

Føj -\frac{1}{3} til \frac{25}{36} ved at finde en fællesnævner og tilføje tællere. Reducer derefter brøken til de mindste led, hvis det er muligt.

$$x^{2}-\frac{5}{3}x+\frac{25}{36}=\frac{13}{36}$$

Faktor x^{2}-\frac{5}{3}x+\frac{25}{36}. Generelt kan det altid faktoreres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}, når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat.

$$\left(x-\frac{5}{6}\right)^{2}=\frac{13}{36}$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{6}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{13}{36}}$$

Forenkling.

$$x-\frac{5}{6}=\frac{\sqrt{13}}{6} x-\frac{5}{6}=-\frac{\sqrt{13}}{6}$$

Adder \frac{5}{6} på begge sider af ligningen.

$$x=\frac{\sqrt{13}+5}{6} x=\frac{5-\sqrt{13}}{6}$$