Løs -3x^2+5x+2geq0

$$- 3 x ^ { 2 } + 5 x + 2 \geq 0$$

Løs for x

$$x\in \begin{bmatrix}-\frac{1}{3},2\end{bmatrix}$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Multiplicerer uligheden med -1 for at gøre koefficienten af den højeste potens i -3x^{2}+5x+2 positiv. Da -1 er negativt, ændres retningen for ulighed.

$$3x^{2}-5x-2\leq 0$$

For at løse uligheden skal du faktorisere venstre side. Kvadratisk polynomium kan faktoriseres ved hjælp af transformeringen ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), hvor x_{1} og x_{2} er løsninger af den kvadratiske ligning ax^{2}+bx+c=0.

$$3x^{2}-5x-2=0$$

Alle ligninger i formlen ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Erstat 3 med a, -5 med b, og -2 med c i den kvadratiske formel.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{\left(-5\right)^{2}-4\times 3\left(-2\right)}}{2\times 3}$$

Lav beregningerne.

$$x=\frac{5±7}{6}$$

Løs ligningen x=\frac{5±7}{6} når ± er plus, og når ± er minus.

$$x=2 x=-\frac{1}{3}$$

Omskriv uligheden ved hjælp af de hentede løsninger.

$$3\left(x-2\right)\left(x+\frac{1}{3}\right)\leq 0$$

For at produktet kan blive ≤0, skal en af værdierne x-2 og x+\frac{1}{3} være ≥0, og den anden skal være ≤0. Overvej sagen når x-2\geq 0 og x+\frac{1}{3}\leq 0.

$$x-2\geq 0 x+\frac{1}{3}\leq 0$$

Dette er falsk for alle x.

$$x\in \emptyset$$

Overvej sagen når x-2\leq 0 og x+\frac{1}{3}\geq 0.

$$x+\frac{1}{3}\geq 0 x-2\leq 0$$

Løsningen, der opfylder begge uligheder, er x\in \left[-\frac{1}{3},2\right].

$$x\in \begin{bmatrix}-\frac{1}{3},2\end{bmatrix}$$

Den endelige løsning er foreningen af de hentede løsninger.

$$x\in \begin{bmatrix}-\frac{1}{3},2\end{bmatrix}$$