Løs -3x^2+4x+12=0

$$- 3 x ^ { 2 } + 4 x + 12 = 0$$

Løs for x

$$x = \frac{2 \sqrt{10} + 2}{3} \approx 2,774851773$$

$$x=\frac{2-2\sqrt{10}}{3}\approx -1,44151844$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Alle ligninger i formatet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formel giver to løsninger: Én løsning, når ± er addition, og én anden løsning, når det er subtraktion.

$$-3x^{2}+4x+12=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat -3 med a, 4 med b og 12 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-4±\sqrt{4^{2}-4\left(-3\right)\times 12}}{2\left(-3\right)}$$

Kvadrér 4.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-4\left(-3\right)\times 12}}{2\left(-3\right)}$$

Multiplicer -4 gange -3.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16+12\times 12}}{2\left(-3\right)}$$

Multiplicer 12 gange 12.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16+144}}{2\left(-3\right)}$$

Adder 16 til 144.

$$x=\frac{-4±\sqrt{160}}{2\left(-3\right)}$$

Tag kvadratroden af 160.

$$x=\frac{-4±4\sqrt{10}}{2\left(-3\right)}$$

Multiplicer 2 gange -3.

$$x=\frac{-4±4\sqrt{10}}{-6}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{-4±4\sqrt{10}}{-6} når ± er plus. Adder -4 til 4\sqrt{10}.

$$x=\frac{4\sqrt{10}-4}{-6}$$

Divider -4+4\sqrt{10} med -6.

$$x=\frac{2-2\sqrt{10}}{3}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{-4±4\sqrt{10}}{-6} når ± er minus. Subtraher 4\sqrt{10} fra -4.

$$x=\frac{-4\sqrt{10}-4}{-6}$$

Divider -4-4\sqrt{10} med -6.

$$x=\frac{2\sqrt{10}+2}{3}$$

Ligningen er nu løst.

$$x=\frac{2-2\sqrt{10}}{3} x=\frac{2\sqrt{10}+2}{3}$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Kvadratligninger som denne kan løses ved at fuldføre kvadratet. Ligningen skal først være i formlen x^{2}+bx=c for at fuldføre kvadratet.

$$-3x^{2}+4x+12=0$$

Subtraher 12 fra begge sider af ligningen.

$$-3x^{2}+4x+12-12=-12$$

Hvis 12 subtraheres fra sig selv, giver det 0.

$$-3x^{2}+4x=-12$$

Divider begge sider med -3.

$$\frac{-3x^{2}+4x}{-3}=-\frac{12}{-3}$$

Division med -3 annullerer multiplikationen med -3.

$$x^{2}+\frac{4}{-3}x=-\frac{12}{-3}$$

Divider 4 med -3.

$$x^{2}-\frac{4}{3}x=-\frac{12}{-3}$$

Divider -12 med -3.

$$x^{2}-\frac{4}{3}x=4$$

Divider -\frac{4}{3}, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få -\frac{2}{3}. Adder derefter kvadratet af -\frac{2}{3} på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$x^{2}-\frac{4}{3}x+\left(-\frac{2}{3}\right)^{2}=4+\left(-\frac{2}{3}\right)^{2}$$

Du kan kvadrere -\frac{2}{3} ved at kvadrere både tælleren og nævneren i brøken.

$$x^{2}-\frac{4}{3}x+\frac{4}{9}=4+\frac{4}{9}$$

Adder 4 til \frac{4}{9}.

$$x^{2}-\frac{4}{3}x+\frac{4}{9}=\frac{40}{9}$$

Faktor x^{2}-\frac{4}{3}x+\frac{4}{9}. Generelt kan det altid faktoreres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}, når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat.

$$\left(x-\frac{2}{3}\right)^{2}=\frac{40}{9}$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(x-\frac{2}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{40}{9}}$$

Forenkling.

$$x-\frac{2}{3}=\frac{2\sqrt{10}}{3} x-\frac{2}{3}=-\frac{2\sqrt{10}}{3}$$

Adder \frac{2}{3} på begge sider af ligningen.

$$x=\frac{2\sqrt{10}+2}{3} x=\frac{2-2\sqrt{10}}{3}$$