Løs -3(2x-1)+(x+1)(x-1)-5(x+2)=1

$$- 3 ( 2 x - 1 ) + ( x + 1 ) ( x - 1 ) - 5 ( x + 2 ) = 1$$

Løs for x

$$x = \frac{\sqrt{157} + 11}{2} \approx 11,764982043$$

$$x=\frac{11-\sqrt{157}}{2}\approx -0,764982043$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere -3 med 2x-1.

$$-6x+3+\left(x+1\right)\left(x-1\right)-5\left(x+2\right)=1$$

Overvej \left(x+1\right)\left(x-1\right). Multiplikation kan omdannes til differensen mellem kvadrater ved hjælp af reglen: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}. Kvadrér 1.

$$-6x+3+x^{2}-1-5\left(x+2\right)=1$$

Subtraher 1 fra 3 for at få 2.

$$-6x+2+x^{2}-5\left(x+2\right)=1$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere -5 med x+2.

$$-6x+2+x^{2}-5x-10=1$$

Kombiner -6x og -5x for at få -11x.

$$-11x+2+x^{2}-10=1$$

Subtraher 10 fra 2 for at få -8.

$$-11x-8+x^{2}=1$$

Subtraher 1 fra begge sider.

$$-11x-8+x^{2}-1=0$$

Subtraher 1 fra -8 for at få -9.

$$-11x-9+x^{2}=0$$

Alle ligninger i formatet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formel giver to løsninger: Én løsning, når ± er addition, og én anden løsning, når det er subtraktion.

$$x^{2}-11x-9=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat 1 med a, -11 med b og -9 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{\left(-11\right)^{2}-4\left(-9\right)}}{2}$$

Kvadrér -11.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121-4\left(-9\right)}}{2}$$

Multiplicer -4 gange -9.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121+36}}{2}$$

Adder 121 til 36.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{157}}{2}$$

Det modsatte af -11 er 11.

$$x=\frac{11±\sqrt{157}}{2}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{11±\sqrt{157}}{2} når ± er plus. Adder 11 til \sqrt{157}.

$$x=\frac{\sqrt{157}+11}{2}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{11±\sqrt{157}}{2} når ± er minus. Subtraher \sqrt{157} fra 11.

$$x=\frac{11-\sqrt{157}}{2}$$

Ligningen er nu løst.

$$x=\frac{\sqrt{157}+11}{2} x=\frac{11-\sqrt{157}}{2}$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere -3 med 2x-1.

$$-6x+3+\left(x+1\right)\left(x-1\right)-5\left(x+2\right)=1$$

Overvej \left(x+1\right)\left(x-1\right). Multiplikation kan omdannes til differensen mellem kvadrater ved hjælp af reglen: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}. Kvadrér 1.

$$-6x+3+x^{2}-1-5\left(x+2\right)=1$$

Subtraher 1 fra 3 for at få 2.

$$-6x+2+x^{2}-5\left(x+2\right)=1$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere -5 med x+2.

$$-6x+2+x^{2}-5x-10=1$$

Kombiner -6x og -5x for at få -11x.

$$-11x+2+x^{2}-10=1$$

Subtraher 10 fra 2 for at få -8.

$$-11x-8+x^{2}=1$$

Tilføj 8 på begge sider.

$$-11x+x^{2}=1+8$$

Tilføj 1 og 8 for at få 9.

$$-11x+x^{2}=9$$

Kvadratligninger som denne kan løses ved at fuldføre kvadratet. Ligningen skal først være i formlen x^{2}+bx=c for at fuldføre kvadratet.

$$x^{2}-11x=9$$

Divider -11, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få -\frac{11}{2}. Adder derefter kvadratet af -\frac{11}{2} på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$x^{2}-11x+\left(-\frac{11}{2}\right)^{2}=9+\left(-\frac{11}{2}\right)^{2}$$

Du kan kvadrere -\frac{11}{2} ved at kvadrere både tælleren og nævneren i brøken.

$$x^{2}-11x+\frac{121}{4}=9+\frac{121}{4}$$

Adder 9 til \frac{121}{4}.

$$x^{2}-11x+\frac{121}{4}=\frac{157}{4}$$

Faktor x^{2}-11x+\frac{121}{4}. Generelt kan det altid faktoreres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}, når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat.

$$\left(x-\frac{11}{2}\right)^{2}=\frac{157}{4}$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(x-\frac{11}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{157}{4}}$$

Forenkling.

$$x-\frac{11}{2}=\frac{\sqrt{157}}{2} x-\frac{11}{2}=-\frac{\sqrt{157}}{2}$$

Adder \frac{11}{2} på begge sider af ligningen.

$$x=\frac{\sqrt{157}+11}{2} x=\frac{11-\sqrt{157}}{2}$$