Løs -2x^2+x+1=0

$$- 2 x ^ { 2 } + x + 1 = 0$$

Løs for x

$$x=1$$

$$x=-\frac{1}{2}=-0,5$$

Vejledning i faktorisering ved gruppering

Hvis du vil løse ligningen, skal du faktor venstre side ved at gruppere. For det første skal venstre side ikke skrives som -2x^{2}+ax+bx+1. Hvis du vil finde a og b, skal du konfigurere et system, der skal løses.

$$a+b=1 ab=-2=-2$$

Da ab er negative, skal a og b have de modsatte tegn. Da a+b er positivt, har det positive tal en større absolut værdi end det negative. Det eneste par af den slags er systemløsningen.

$$a=2 b=-1$$

Omskriv -2x^{2}+x+1 som \left(-2x^{2}+2x\right)+\left(-x+1\right).

$$\left(-2x^{2}+2x\right)+\left(-x+1\right)$$

Udfaktoriser 2x i -2x^{2}+2x.

$$2x\left(-x+1\right)-x+1$$

Udfaktoriser fællesleddet -x+1 ved hjælp af fordelingsegenskaben.

$$\left(-x+1\right)\left(2x+1\right)$$

Løs -x+1=0 og 2x+1=0 for at finde Lignings løsninger.

$$x=1 x=-\frac{1}{2}$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Alle ligninger i formatet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formel giver to løsninger: Én løsning, når ± er addition, og én anden løsning, når det er subtraktion.

$$-2x^{2}+x+1=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat -2 med a, 1 med b og 1 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1^{2}-4\left(-2\right)}}{2\left(-2\right)}$$

Kvadrér 1.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1-4\left(-2\right)}}{2\left(-2\right)}$$

Multiplicer -4 gange -2.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1+8}}{2\left(-2\right)}$$

Adder 1 til 8.

$$x=\frac{-1±\sqrt{9}}{2\left(-2\right)}$$

Tag kvadratroden af 9.

$$x=\frac{-1±3}{2\left(-2\right)}$$

Multiplicer 2 gange -2.

$$x=\frac{-1±3}{-4}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{-1±3}{-4} når ± er plus. Adder -1 til 3.

$$x=\frac{2}{-4}$$

Reducer fraktionen \frac{2}{-4} til de laveste led ved at udtrække og annullere 2.

$$x=-\frac{1}{2}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{-1±3}{-4} når ± er minus. Subtraher 3 fra -1.

$$x=-\frac{4}{-4}$$

Divider -4 med -4.

$$x=1$$

Ligningen er nu løst.

$$x=-\frac{1}{2} x=1$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Kvadratligninger som denne kan løses ved at fuldføre kvadratet. Ligningen skal først være i formlen x^{2}+bx=c for at fuldføre kvadratet.

$$-2x^{2}+x+1=0$$

Subtraher 1 fra begge sider af ligningen.

$$-2x^{2}+x+1-1=-1$$

Hvis 1 subtraheres fra sig selv, giver det 0.

$$-2x^{2}+x=-1$$

Divider begge sider med -2.

$$\frac{-2x^{2}+x}{-2}=-\frac{1}{-2}$$

Division med -2 annullerer multiplikationen med -2.

$$x^{2}+\frac{1}{-2}x=-\frac{1}{-2}$$

Divider 1 med -2.

$$x^{2}-\frac{1}{2}x=-\frac{1}{-2}$$

Divider -1 med -2.

$$x^{2}-\frac{1}{2}x=\frac{1}{2}$$

Divider -\frac{1}{2}, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få -\frac{1}{4}. Adder derefter kvadratet af -\frac{1}{4} på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$x^{2}-\frac{1}{2}x+\left(-\frac{1}{4}\right)^{2}=\frac{1}{2}+\left(-\frac{1}{4}\right)^{2}$$

Du kan kvadrere -\frac{1}{4} ved at kvadrere både tælleren og nævneren i brøken.

$$x^{2}-\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}=\frac{1}{2}+\frac{1}{16}$$

Føj \frac{1}{2} til \frac{1}{16} ved at finde en fællesnævner og tilføje tællere. Reducer derefter brøken til de mindste led, hvis det er muligt.

$$x^{2}-\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}=\frac{9}{16}$$

Faktor x^{2}-\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}. Generelt kan det altid faktoreres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}, når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat.

$$\left(x-\frac{1}{4}\right)^{2}=\frac{9}{16}$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{9}{16}}$$

Forenkling.

$$x-\frac{1}{4}=\frac{3}{4} x-\frac{1}{4}=-\frac{3}{4}$$

Adder \frac{1}{4} på begge sider af ligningen.

$$x=1 x=-\frac{1}{2}$$