Løs -2x^2+2x+15=0

$$- 2 x ^ { 2 } + 2 x + 15 = 0$$

Løs for x

$$x = \frac{\sqrt{31} + 1}{2} \approx 3,283882181$$

$$x=\frac{1-\sqrt{31}}{2}\approx -2,283882181$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Alle ligninger i formatet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formel giver to løsninger: Én løsning, når ± er addition, og én anden løsning, når det er subtraktion.

$$-2x^{2}+2x+15=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat -2 med a, 2 med b og 15 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-2±\sqrt{2^{2}-4\left(-2\right)\times 15}}{2\left(-2\right)}$$

Kvadrér 2.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4-4\left(-2\right)\times 15}}{2\left(-2\right)}$$

Multiplicer -4 gange -2.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4+8\times 15}}{2\left(-2\right)}$$

Multiplicer 8 gange 15.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4+120}}{2\left(-2\right)}$$

Adder 4 til 120.

$$x=\frac{-2±\sqrt{124}}{2\left(-2\right)}$$

Tag kvadratroden af 124.

$$x=\frac{-2±2\sqrt{31}}{2\left(-2\right)}$$

Multiplicer 2 gange -2.

$$x=\frac{-2±2\sqrt{31}}{-4}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{-2±2\sqrt{31}}{-4} når ± er plus. Adder -2 til 2\sqrt{31}.

$$x=\frac{2\sqrt{31}-2}{-4}$$

Divider -2+2\sqrt{31} med -4.

$$x=\frac{1-\sqrt{31}}{2}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{-2±2\sqrt{31}}{-4} når ± er minus. Subtraher 2\sqrt{31} fra -2.

$$x=\frac{-2\sqrt{31}-2}{-4}$$

Divider -2-2\sqrt{31} med -4.

$$x=\frac{\sqrt{31}+1}{2}$$

Ligningen er nu løst.

$$x=\frac{1-\sqrt{31}}{2} x=\frac{\sqrt{31}+1}{2}$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Kvadratligninger som denne kan løses ved at fuldføre kvadratet. Ligningen skal først være i formlen x^{2}+bx=c for at fuldføre kvadratet.

$$-2x^{2}+2x+15=0$$

Subtraher 15 fra begge sider af ligningen.

$$-2x^{2}+2x+15-15=-15$$

Hvis 15 subtraheres fra sig selv, giver det 0.

$$-2x^{2}+2x=-15$$

Divider begge sider med -2.

$$\frac{-2x^{2}+2x}{-2}=-\frac{15}{-2}$$

Division med -2 annullerer multiplikationen med -2.

$$x^{2}+\frac{2}{-2}x=-\frac{15}{-2}$$

Divider 2 med -2.

$$x^{2}-x=-\frac{15}{-2}$$

Divider -15 med -2.

$$x^{2}-x=\frac{15}{2}$$

Divider -1, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få -\frac{1}{2}. Adder derefter kvadratet af -\frac{1}{2} på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$x^{2}-x+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{15}{2}+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Du kan kvadrere -\frac{1}{2} ved at kvadrere både tælleren og nævneren i brøken.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=\frac{15}{2}+\frac{1}{4}$$

Føj \frac{15}{2} til \frac{1}{4} ved at finde en fællesnævner og tilføje tællere. Reducer derefter brøken til de mindste led, hvis det er muligt.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=\frac{31}{4}$$

Faktor x^{2}-x+\frac{1}{4}. Generelt kan det altid faktoreres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}, når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat.

$$\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{31}{4}$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{31}{4}}$$

Forenkling.

$$x-\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{31}}{2} x-\frac{1}{2}=-\frac{\sqrt{31}}{2}$$

Adder \frac{1}{2} på begge sider af ligningen.

$$x=\frac{\sqrt{31}+1}{2} x=\frac{1-\sqrt{31}}{2}$$