Løs -2x^2+12x-14>0

$$- 2 x ^ { 2 } + 12 x - 14 > 0$$

Løs for x

$$x\in \left(3-\sqrt{2},\sqrt{2}+3\right)$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Multiplicerer uligheden med -1 for at gøre koefficienten af den højeste potens i -2x^{2}+12x-14 positiv. Fordi -1 er <0, ændres ulighedens retning.

$$2x^{2}-12x+14<0$$

For at løse uligheden skal du faktorisere venstre side. Kvadratisk polynomium kan faktoriseres ved hjælp af transformeringen ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), hvor x_{1} og x_{2} er løsninger af den kvadratiske ligning ax^{2}+bx+c=0.

$$2x^{2}-12x+14=0$$

Alle ligninger i formlen ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Erstat 2 med a, -12 med b, og 14 med c i den kvadratiske formel.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{\left(-12\right)^{2}-4\times 2\times 14}}{2\times 2}$$

Lav beregningerne.

$$x=\frac{12±4\sqrt{2}}{4}$$

Løs ligningen x=\frac{12±4\sqrt{2}}{4} når ± er plus, og når ± er minus.

$$x=\sqrt{2}+3 x=3-\sqrt{2}$$

Omskriv uligheden ved hjælp af de hentede løsninger.

$$2\left(x-\left(\sqrt{2}+3\right)\right)\left(x-\left(3-\sqrt{2}\right)\right)<0$$

For at produktet bliver negativt, skal x-\left(\sqrt{2}+3\right) og x-\left(3-\sqrt{2}\right) have modsatte tegn. Overvej sagen, når x-\left(\sqrt{2}+3\right) er positiv og x-\left(3-\sqrt{2}\right) er negativ.

$$x-\left(\sqrt{2}+3\right)>0 x-\left(3-\sqrt{2}\right)<0$$

Dette er falsk for alle x.

$$x\in \emptyset$$

Overvej sagen, når x-\left(3-\sqrt{2}\right) er positiv og x-\left(\sqrt{2}+3\right) er negativ.

$$x-\left(3-\sqrt{2}\right)>0 x-\left(\sqrt{2}+3\right)<0$$

Løsningen, der opfylder begge uligheder, er x\in \left(3-\sqrt{2},\sqrt{2}+3\right).

$$x\in \left(3-\sqrt{2},\sqrt{2}+3\right)$$

Den endelige løsning er foreningen af de hentede løsninger.

$$x\in \left(3-\sqrt{2},\sqrt{2}+3\right)$$