Løs -16t^2+64t+80=128

$$- 16 t ^ { 2 } + 64 t + 80 = 128$$

Løs for t

$$t=1$$

$$t=3$$

Vejledning i faktorisering ved gruppering

Subtraher 128 fra begge sider.

$$-16t^{2}+64t+80-128=0$$

Subtraher 128 fra 80 for at få -48.

$$-16t^{2}+64t-48=0$$

Divider begge sider med 16.

$$-t^{2}+4t-3=0$$

Hvis du vil løse ligningen, skal du faktor venstre side ved at gruppere. For det første skal venstre side ikke skrives som -t^{2}+at+bt-3. Hvis du vil finde a og b, skal du konfigurere et system, der skal løses.

$$a+b=4 ab=-\left(-3\right)=3$$

Da ab er positivt, skal a og b have samme fortegn. Da a+b er positivt, er a og b begge positive. Det eneste par af den slags er systemløsningen.

$$a=3 b=1$$

Omskriv -t^{2}+4t-3 som \left(-t^{2}+3t\right)+\left(t-3\right).

$$\left(-t^{2}+3t\right)+\left(t-3\right)$$

Udfaktoriser -t i -t^{2}+3t.

$$-t\left(t-3\right)+t-3$$

Udfaktoriser fællesleddet t-3 ved hjælp af fordelingsegenskaben.

$$\left(t-3\right)\left(-t+1\right)$$

Løs t-3=0 og -t+1=0 for at finde Lignings løsninger.

$$t=3 t=1$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Alle ligninger i formatet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formel giver to løsninger: Én løsning, når ± er addition, og én anden løsning, når det er subtraktion.

$$-16t^{2}+64t+80=128$$

Subtraher 128 fra begge sider af ligningen.

$$-16t^{2}+64t+80-128=128-128$$

Hvis 128 subtraheres fra sig selv, giver det 0.

$$-16t^{2}+64t+80-128=0$$

Subtraher 128 fra 80.

$$-16t^{2}+64t-48=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat -16 med a, 64 med b og -48 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$t=\frac{-64±\sqrt{64^{2}-4\left(-16\right)\left(-48\right)}}{2\left(-16\right)}$$

Kvadrér 64.

$$t=\frac{-64±\sqrt{4096-4\left(-16\right)\left(-48\right)}}{2\left(-16\right)}$$

Multiplicer -4 gange -16.

$$t=\frac{-64±\sqrt{4096+64\left(-48\right)}}{2\left(-16\right)}$$

Multiplicer 64 gange -48.

$$t=\frac{-64±\sqrt{4096-3072}}{2\left(-16\right)}$$

Adder 4096 til -3072.

$$t=\frac{-64±\sqrt{1024}}{2\left(-16\right)}$$

Tag kvadratroden af 1024.

$$t=\frac{-64±32}{2\left(-16\right)}$$

Multiplicer 2 gange -16.

$$t=\frac{-64±32}{-32}$$

Nu skal du løse ligningen, t=\frac{-64±32}{-32} når ± er plus. Adder -64 til 32.

$$t=-\frac{32}{-32}$$

Divider -32 med -32.

$$t=1$$

Nu skal du løse ligningen, t=\frac{-64±32}{-32} når ± er minus. Subtraher 32 fra -64.

$$t=-\frac{96}{-32}$$

Divider -96 med -32.

$$t=3$$

Ligningen er nu løst.

$$t=1 t=3$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Kvadratligninger som denne kan løses ved at fuldføre kvadratet. Ligningen skal først være i formlen x^{2}+bx=c for at fuldføre kvadratet.

$$-16t^{2}+64t+80=128$$

Subtraher 80 fra begge sider af ligningen.

$$-16t^{2}+64t+80-80=128-80$$

Hvis 80 subtraheres fra sig selv, giver det 0.

$$-16t^{2}+64t=128-80$$

Subtraher 80 fra 128.

$$-16t^{2}+64t=48$$

Divider begge sider med -16.

$$\frac{-16t^{2}+64t}{-16}=\frac{48}{-16}$$

Division med -16 annullerer multiplikationen med -16.

$$t^{2}+\frac{64}{-16}t=\frac{48}{-16}$$

Divider 64 med -16.

$$t^{2}-4t=\frac{48}{-16}$$

Divider 48 med -16.

$$t^{2}-4t=-3$$

Divider -4, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få -2. Adder derefter kvadratet af -2 på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$t^{2}-4t+\left(-2\right)^{2}=-3+\left(-2\right)^{2}$$

Kvadrér -2.

$$t^{2}-4t+4=-3+4$$

Adder -3 til 4.

$$t^{2}-4t+4=1$$

Faktor t^{2}-4t+4. Generelt kan det altid faktoreres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}, når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat.

$$\left(t-2\right)^{2}=1$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(t-2\right)^{2}}=\sqrt{1}$$

Forenkling.

$$t-2=1 t-2=-1$$

Adder 2 på begge sider af ligningen.

$$t=3 t=1$$