Løs -16t^2+36t+7=0

$$- 16 t ^ { 2 } + 36 t + 7 = 0$$

Løs for t

$$t = \frac{\sqrt{109} + 9}{8} \approx 2,430038314$$

$$t=\frac{9-\sqrt{109}}{8}\approx -0,180038314$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Alle ligninger i formatet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formel giver to løsninger: Én løsning, når ± er addition, og én anden løsning, når det er subtraktion.

$$-16t^{2}+36t+7=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat -16 med a, 36 med b og 7 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$t=\frac{-36±\sqrt{36^{2}-4\left(-16\right)\times 7}}{2\left(-16\right)}$$

Kvadrér 36.

$$t=\frac{-36±\sqrt{1296-4\left(-16\right)\times 7}}{2\left(-16\right)}$$

Multiplicer -4 gange -16.

$$t=\frac{-36±\sqrt{1296+64\times 7}}{2\left(-16\right)}$$

Multiplicer 64 gange 7.

$$t=\frac{-36±\sqrt{1296+448}}{2\left(-16\right)}$$

Adder 1296 til 448.

$$t=\frac{-36±\sqrt{1744}}{2\left(-16\right)}$$

Tag kvadratroden af 1744.

$$t=\frac{-36±4\sqrt{109}}{2\left(-16\right)}$$

Multiplicer 2 gange -16.

$$t=\frac{-36±4\sqrt{109}}{-32}$$

Nu skal du løse ligningen, t=\frac{-36±4\sqrt{109}}{-32} når ± er plus. Adder -36 til 4\sqrt{109}.

$$t=\frac{4\sqrt{109}-36}{-32}$$

Divider -36+4\sqrt{109} med -32.

$$t=\frac{9-\sqrt{109}}{8}$$

Nu skal du løse ligningen, t=\frac{-36±4\sqrt{109}}{-32} når ± er minus. Subtraher 4\sqrt{109} fra -36.

$$t=\frac{-4\sqrt{109}-36}{-32}$$

Divider -36-4\sqrt{109} med -32.

$$t=\frac{\sqrt{109}+9}{8}$$

Ligningen er nu løst.

$$t=\frac{9-\sqrt{109}}{8} t=\frac{\sqrt{109}+9}{8}$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Kvadratligninger som denne kan løses ved at fuldføre kvadratet. Ligningen skal først være i formlen x^{2}+bx=c for at fuldføre kvadratet.

$$-16t^{2}+36t+7=0$$

Subtraher 7 fra begge sider af ligningen.

$$-16t^{2}+36t+7-7=-7$$

Hvis 7 subtraheres fra sig selv, giver det 0.

$$-16t^{2}+36t=-7$$

Divider begge sider med -16.

$$\frac{-16t^{2}+36t}{-16}=-\frac{7}{-16}$$

Division med -16 annullerer multiplikationen med -16.

$$t^{2}+\frac{36}{-16}t=-\frac{7}{-16}$$

Reducer fraktionen \frac{36}{-16} til de laveste led ved at udtrække og annullere 4.

$$t^{2}-\frac{9}{4}t=-\frac{7}{-16}$$

Divider -7 med -16.

$$t^{2}-\frac{9}{4}t=\frac{7}{16}$$

Divider -\frac{9}{4}, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få -\frac{9}{8}. Adder derefter kvadratet af -\frac{9}{8} på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$t^{2}-\frac{9}{4}t+\left(-\frac{9}{8}\right)^{2}=\frac{7}{16}+\left(-\frac{9}{8}\right)^{2}$$

Du kan kvadrere -\frac{9}{8} ved at kvadrere både tælleren og nævneren i brøken.

$$t^{2}-\frac{9}{4}t+\frac{81}{64}=\frac{7}{16}+\frac{81}{64}$$

Føj \frac{7}{16} til \frac{81}{64} ved at finde en fællesnævner og tilføje tællere. Reducer derefter brøken til de mindste led, hvis det er muligt.

$$t^{2}-\frac{9}{4}t+\frac{81}{64}=\frac{109}{64}$$

Faktor t^{2}-\frac{9}{4}t+\frac{81}{64}. Generelt kan det altid faktoreres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}, når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat.

$$\left(t-\frac{9}{8}\right)^{2}=\frac{109}{64}$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(t-\frac{9}{8}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{109}{64}}$$

Forenkling.

$$t-\frac{9}{8}=\frac{\sqrt{109}}{8} t-\frac{9}{8}=-\frac{\sqrt{109}}{8}$$

Adder \frac{9}{8} på begge sider af ligningen.

$$t=\frac{\sqrt{109}+9}{8} t=\frac{9-\sqrt{109}}{8}$$