Løs -12x^2-36x+31geq0

$$- 12 x ^ { 2 } - 36 x + 31 \geq 0$$

Løs for x

$$x\in \begin{bmatrix}-\frac{\sqrt{174}}{6}-\frac{3}{2},\frac{\sqrt{174}}{6}-\frac{3}{2}\end{bmatrix}$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Multiplicerer uligheden med -1 for at gøre koefficienten af den højeste potens i -12x^{2}-36x+31 positiv. Da -1 er negativt, ændres retningen for ulighed.

$$12x^{2}+36x-31\leq 0$$

For at løse uligheden skal du faktorisere venstre side. Kvadratisk polynomium kan faktoriseres ved hjælp af transformeringen ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), hvor x_{1} og x_{2} er løsninger af den kvadratiske ligning ax^{2}+bx+c=0.

$$12x^{2}+36x-31=0$$

Alle ligninger i formlen ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Erstat 12 med a, 36 med b, og -31 med c i den kvadratiske formel.

$$x=\frac{-36±\sqrt{36^{2}-4\times 12\left(-31\right)}}{2\times 12}$$

Lav beregningerne.

$$x=\frac{-36±4\sqrt{174}}{24}$$

Løs ligningen x=\frac{-36±4\sqrt{174}}{24} når ± er plus, og når ± er minus.

$$x=\frac{\sqrt{174}}{6}-\frac{3}{2} x=-\frac{\sqrt{174}}{6}-\frac{3}{2}$$

Omskriv uligheden ved hjælp af de hentede løsninger.

$$12\left(x-\left(\frac{\sqrt{174}}{6}-\frac{3}{2}\right)\right)\left(x-\left(-\frac{\sqrt{174}}{6}-\frac{3}{2}\right)\right)\leq 0$$

For at produktet kan blive ≤0, skal en af værdierne x-\left(\frac{\sqrt{174}}{6}-\frac{3}{2}\right) og x-\left(-\frac{\sqrt{174}}{6}-\frac{3}{2}\right) være ≥0, og den anden skal være ≤0. Overvej sagen når x-\left(\frac{\sqrt{174}}{6}-\frac{3}{2}\right)\geq 0 og x-\left(-\frac{\sqrt{174}}{6}-\frac{3}{2}\right)\leq 0.

$$x-\left(\frac{\sqrt{174}}{6}-\frac{3}{2}\right)\geq 0 x-\left(-\frac{\sqrt{174}}{6}-\frac{3}{2}\right)\leq 0$$

Dette er falsk for alle x.

$$x\in \emptyset$$

Overvej sagen når x-\left(\frac{\sqrt{174}}{6}-\frac{3}{2}\right)\leq 0 og x-\left(-\frac{\sqrt{174}}{6}-\frac{3}{2}\right)\geq 0.

$$x-\left(-\frac{\sqrt{174}}{6}-\frac{3}{2}\right)\geq 0 x-\left(\frac{\sqrt{174}}{6}-\frac{3}{2}\right)\leq 0$$

Løsningen, der opfylder begge uligheder, er x\in \left[-\frac{\sqrt{174}}{6}-\frac{3}{2},\frac{\sqrt{174}}{6}-\frac{3}{2}\right].

$$x\in \begin{bmatrix}-\frac{\sqrt{174}}{6}-\frac{3}{2},\frac{\sqrt{174}}{6}-\frac{3}{2}\end{bmatrix}$$

Den endelige løsning er foreningen af de hentede løsninger.

$$x\in \begin{bmatrix}-\frac{\sqrt{174}}{6}-\frac{3}{2},\frac{\sqrt{174}}{6}-\frac{3}{2}\end{bmatrix}$$