Løs -10x^2-30x-20=0

$$- 10 x ^ { 2 } - 30 x - 20 = 0$$

Løs for x

$$x=-2$$

$$x=-1$$

Vejledning i faktorisering ved gruppering

Divider begge sider med 10.

$$-x^{2}-3x-2=0$$

Hvis du vil løse ligningen, skal du faktor venstre side ved at gruppere. For det første skal venstre side ikke skrives som -x^{2}+ax+bx-2. Hvis du vil finde a og b, skal du konfigurere et system, der skal løses.

$$a+b=-3 ab=-\left(-2\right)=2$$

Da ab er positivt, skal a og b have samme fortegn. Da a+b er negative, er a og b begge negative. Det eneste par af den slags er systemløsningen.

$$a=-1 b=-2$$

Omskriv -x^{2}-3x-2 som \left(-x^{2}-x\right)+\left(-2x-2\right).

$$\left(-x^{2}-x\right)+\left(-2x-2\right)$$

Udx i den første og 2 i den anden gruppe.

$$x\left(-x-1\right)+2\left(-x-1\right)$$

Udfaktoriser fællesleddet -x-1 ved hjælp af fordelingsegenskaben.

$$\left(-x-1\right)\left(x+2\right)$$

Løs -x-1=0 og x+2=0 for at finde Lignings løsninger.

$$x=-1 x=-2$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Alle ligninger i formatet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formel giver to løsninger: Én løsning, når ± er addition, og én anden løsning, når det er subtraktion.

$$-10x^{2}-30x-20=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat -10 med a, -30 med b og -20 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-30\right)±\sqrt{\left(-30\right)^{2}-4\left(-10\right)\left(-20\right)}}{2\left(-10\right)}$$

Kvadrér -30.

$$x=\frac{-\left(-30\right)±\sqrt{900-4\left(-10\right)\left(-20\right)}}{2\left(-10\right)}$$

Multiplicer -4 gange -10.

$$x=\frac{-\left(-30\right)±\sqrt{900+40\left(-20\right)}}{2\left(-10\right)}$$

Multiplicer 40 gange -20.

$$x=\frac{-\left(-30\right)±\sqrt{900-800}}{2\left(-10\right)}$$

Adder 900 til -800.

$$x=\frac{-\left(-30\right)±\sqrt{100}}{2\left(-10\right)}$$

Tag kvadratroden af 100.

$$x=\frac{-\left(-30\right)±10}{2\left(-10\right)}$$

Det modsatte af -30 er 30.

$$x=\frac{30±10}{2\left(-10\right)}$$

Multiplicer 2 gange -10.

$$x=\frac{30±10}{-20}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{30±10}{-20} når ± er plus. Adder 30 til 10.

$$x=\frac{40}{-20}$$

Divider 40 med -20.

$$x=-2$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{30±10}{-20} når ± er minus. Subtraher 10 fra 30.

$$x=\frac{20}{-20}$$

Divider 20 med -20.

$$x=-1$$

Ligningen er nu løst.

$$x=-2 x=-1$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Kvadratligninger som denne kan løses ved at fuldføre kvadratet. Ligningen skal først være i formlen x^{2}+bx=c for at fuldføre kvadratet.

$$-10x^{2}-30x-20=0$$

Adder 20 på begge sider af ligningen.

$$-10x^{2}-30x-20-\left(-20\right)=-\left(-20\right)$$

Hvis -20 subtraheres fra sig selv, giver det 0.

$$-10x^{2}-30x=-\left(-20\right)$$

Subtraher -20 fra 0.

$$-10x^{2}-30x=20$$

Divider begge sider med -10.

$$\frac{-10x^{2}-30x}{-10}=\frac{20}{-10}$$

Division med -10 annullerer multiplikationen med -10.

$$x^{2}+\left(-\frac{30}{-10}\right)x=\frac{20}{-10}$$

Divider -30 med -10.

$$x^{2}+3x=\frac{20}{-10}$$

Divider 20 med -10.

$$x^{2}+3x=-2$$

Divider 3, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få \frac{3}{2}. Adder derefter kvadratet af \frac{3}{2} på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$x^{2}+3x+\left(\frac{3}{2}\right)^{2}=-2+\left(\frac{3}{2}\right)^{2}$$

Du kan kvadrere \frac{3}{2} ved at kvadrere både tælleren og nævneren i brøken.

$$x^{2}+3x+\frac{9}{4}=-2+\frac{9}{4}$$

Adder -2 til \frac{9}{4}.

$$x^{2}+3x+\frac{9}{4}=\frac{1}{4}$$

Faktor x^{2}+3x+\frac{9}{4}. Generelt kan det altid faktoreres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}, når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat.

$$\left(x+\frac{3}{2}\right)^{2}=\frac{1}{4}$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(x+\frac{3}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1}{4}}$$

Forenkling.

$$x+\frac{3}{2}=\frac{1}{2} x+\frac{3}{2}=-\frac{1}{2}$$

Subtraher \frac{3}{2} fra begge sider af ligningen.

$$x=-1 x=-2$$