Løs -y^2+10y+400=0

$$- { y }^{ 2 } +10y+400=0$$

Løs for y

$$y=5\sqrt{17}+5\approx 25,615528128$$

$$y=5-5\sqrt{17}\approx -15,615528128$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Alle ligninger i formatet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formel giver to løsninger: Én løsning, når ± er addition, og én anden løsning, når det er subtraktion.

$$-y^{2}+10y+400=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat -1 med a, 10 med b og 400 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$y=\frac{-10±\sqrt{10^{2}-4\left(-1\right)\times 400}}{2\left(-1\right)}$$

Kvadrér 10.

$$y=\frac{-10±\sqrt{100-4\left(-1\right)\times 400}}{2\left(-1\right)}$$

Multiplicer -4 gange -1.

$$y=\frac{-10±\sqrt{100+4\times 400}}{2\left(-1\right)}$$

Multiplicer 4 gange 400.

$$y=\frac{-10±\sqrt{100+1600}}{2\left(-1\right)}$$

Adder 100 til 1600.

$$y=\frac{-10±\sqrt{1700}}{2\left(-1\right)}$$

Tag kvadratroden af 1700.

$$y=\frac{-10±10\sqrt{17}}{2\left(-1\right)}$$

Multiplicer 2 gange -1.

$$y=\frac{-10±10\sqrt{17}}{-2}$$

Nu skal du løse ligningen, y=\frac{-10±10\sqrt{17}}{-2} når ± er plus. Adder -10 til 10\sqrt{17}.

$$y=\frac{10\sqrt{17}-10}{-2}$$

Divider -10+10\sqrt{17} med -2.

$$y=5-5\sqrt{17}$$

Nu skal du løse ligningen, y=\frac{-10±10\sqrt{17}}{-2} når ± er minus. Subtraher 10\sqrt{17} fra -10.

$$y=\frac{-10\sqrt{17}-10}{-2}$$

Divider -10-10\sqrt{17} med -2.

$$y=5\sqrt{17}+5$$

Ligningen er nu løst.

$$y=5-5\sqrt{17} y=5\sqrt{17}+5$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Kvadratligninger som denne kan løses ved at fuldføre kvadratet. Ligningen skal først være i formlen x^{2}+bx=c for at fuldføre kvadratet.

$$-y^{2}+10y+400=0$$

Subtraher 400 fra begge sider af ligningen.

$$-y^{2}+10y+400-400=-400$$

Hvis 400 subtraheres fra sig selv, giver det 0.

$$-y^{2}+10y=-400$$

Divider begge sider med -1.

$$\frac{-y^{2}+10y}{-1}=-\frac{400}{-1}$$

Division med -1 annullerer multiplikationen med -1.

$$y^{2}+\frac{10}{-1}y=-\frac{400}{-1}$$

Divider 10 med -1.

$$y^{2}-10y=-\frac{400}{-1}$$

Divider -400 med -1.

$$y^{2}-10y=400$$

Divider -10, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få -5. Adder derefter kvadratet af -5 på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$y^{2}-10y+\left(-5\right)^{2}=400+\left(-5\right)^{2}$$

Kvadrér -5.

$$y^{2}-10y+25=400+25$$

Adder 400 til 25.

$$y^{2}-10y+25=425$$

Faktor y^{2}-10y+25. Generelt kan det altid faktoreres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}, når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat.

$$\left(y-5\right)^{2}=425$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(y-5\right)^{2}}=\sqrt{425}$$

Forenkling.

$$y-5=5\sqrt{17} y-5=-5\sqrt{17}$$

Adder 5 på begge sider af ligningen.

$$y=5\sqrt{17}+5 y=5-5\sqrt{17}$$