Løs -x^2+7x-10=0

$$- { x }^{ 2 } +7x-10 = 0$$

Løs for x

$$x=2$$

$$x=5$$

Vejledning i faktorisering ved gruppering

Hvis du vil løse ligningen, skal du faktor venstre side ved at gruppere. For det første skal venstre side ikke skrives som -x^{2}+ax+bx-10. Hvis du vil finde a og b, skal du konfigurere et system, der skal løses.

$$a+b=7 ab=-\left(-10\right)=10$$

Da ab er positivt, skal a og b have samme fortegn. Da a+b er positivt, er a og b begge positive. Vis alle disse heltals par, der giver produkt 10.

$$1,10 2,5$$

Beregn summen af hvert par.

$$1+10=11 2+5=7$$

Løsningen er det par, der får summen 7.

$$a=5 b=2$$

Omskriv -x^{2}+7x-10 som \left(-x^{2}+5x\right)+\left(2x-10\right).

$$\left(-x^{2}+5x\right)+\left(2x-10\right)$$

Ud-x i den første og 2 i den anden gruppe.

$$-x\left(x-5\right)+2\left(x-5\right)$$

Udfaktoriser fællesleddet x-5 ved hjælp af fordelingsegenskaben.

$$\left(x-5\right)\left(-x+2\right)$$

Løs x-5=0 og -x+2=0 for at finde Lignings løsninger.

$$x=5 x=2$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Alle ligninger i formatet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formel giver to løsninger: Én løsning, når ± er addition, og én anden løsning, når det er subtraktion.

$$-x^{2}+7x-10=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat -1 med a, 7 med b og -10 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-7±\sqrt{7^{2}-4\left(-1\right)\left(-10\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Kvadrér 7.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49-4\left(-1\right)\left(-10\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Multiplicer -4 gange -1.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49+4\left(-10\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Multiplicer 4 gange -10.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49-40}}{2\left(-1\right)}$$

Adder 49 til -40.

$$x=\frac{-7±\sqrt{9}}{2\left(-1\right)}$$

Tag kvadratroden af 9.

$$x=\frac{-7±3}{2\left(-1\right)}$$

Multiplicer 2 gange -1.

$$x=\frac{-7±3}{-2}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{-7±3}{-2} når ± er plus. Adder -7 til 3.

$$x=-\frac{4}{-2}$$

Divider -4 med -2.

$$x=2$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{-7±3}{-2} når ± er minus. Subtraher 3 fra -7.

$$x=-\frac{10}{-2}$$

Divider -10 med -2.

$$x=5$$

Ligningen er nu løst.

$$x=2 x=5$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Kvadratligninger som denne kan løses ved at fuldføre kvadratet. Ligningen skal først være i formlen x^{2}+bx=c for at fuldføre kvadratet.

$$-x^{2}+7x-10=0$$

Adder 10 på begge sider af ligningen.

$$-x^{2}+7x-10-\left(-10\right)=-\left(-10\right)$$

Hvis -10 subtraheres fra sig selv, giver det 0.

$$-x^{2}+7x=-\left(-10\right)$$

Subtraher -10 fra 0.

$$-x^{2}+7x=10$$

Divider begge sider med -1.

$$\frac{-x^{2}+7x}{-1}=\frac{10}{-1}$$

Division med -1 annullerer multiplikationen med -1.

$$x^{2}+\frac{7}{-1}x=\frac{10}{-1}$$

Divider 7 med -1.

$$x^{2}-7x=\frac{10}{-1}$$

Divider 10 med -1.

$$x^{2}-7x=-10$$

Divider -7, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få -\frac{7}{2}. Adder derefter kvadratet af -\frac{7}{2} på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$x^{2}-7x+\left(-\frac{7}{2}\right)^{2}=-10+\left(-\frac{7}{2}\right)^{2}$$

Du kan kvadrere -\frac{7}{2} ved at kvadrere både tælleren og nævneren i brøken.

$$x^{2}-7x+\frac{49}{4}=-10+\frac{49}{4}$$

Adder -10 til \frac{49}{4}.

$$x^{2}-7x+\frac{49}{4}=\frac{9}{4}$$

Faktor x^{2}-7x+\frac{49}{4}. Generelt kan det altid faktoreres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}, når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat.

$$\left(x-\frac{7}{2}\right)^{2}=\frac{9}{4}$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(x-\frac{7}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{9}{4}}$$

Forenkling.

$$x-\frac{7}{2}=\frac{3}{2} x-\frac{7}{2}=-\frac{3}{2}$$

Adder \frac{7}{2} på begge sider af ligningen.

$$x=5 x=2$$