Løs -x^2+2x-1=0

$$- { x }^{ 2 } +2x-1=0$$

Løs for x

$$x=1$$

Vejledning i faktorisering ved gruppering

Hvis du vil løse ligningen, skal du faktor venstre side ved at gruppere. For det første skal venstre side ikke skrives som -x^{2}+ax+bx-1. Hvis du vil finde a og b, skal du konfigurere et system, der skal løses.

$$a+b=2 ab=-\left(-1\right)=1$$

Da ab er positivt, skal a og b have samme fortegn. Da a+b er positivt, er a og b begge positive. Det eneste par af den slags er systemløsningen.

$$a=1 b=1$$

Omskriv -x^{2}+2x-1 som \left(-x^{2}+x\right)+\left(x-1\right).

$$\left(-x^{2}+x\right)+\left(x-1\right)$$

Udfaktoriser -x i -x^{2}+x.

$$-x\left(x-1\right)+x-1$$

Udfaktoriser fællesleddet x-1 ved hjælp af fordelingsegenskaben.

$$\left(x-1\right)\left(-x+1\right)$$

Løs x-1=0 og -x+1=0 for at finde Lignings løsninger.

$$x=1 x=1$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Alle ligninger i formatet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formel giver to løsninger: Én løsning, når ± er addition, og én anden løsning, når det er subtraktion.

$$-x^{2}+2x-1=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat -1 med a, 2 med b og -1 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-2±\sqrt{2^{2}-4\left(-1\right)\left(-1\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Kvadrér 2.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4-4\left(-1\right)\left(-1\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Multiplicer -4 gange -1.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4+4\left(-1\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Multiplicer 4 gange -1.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4-4}}{2\left(-1\right)}$$

Adder 4 til -4.

$$x=\frac{-2±\sqrt{0}}{2\left(-1\right)}$$

Tag kvadratroden af 0.

$$x=-\frac{2}{2\left(-1\right)}$$

Multiplicer 2 gange -1.

$$x=-\frac{2}{-2}$$

Divider -2 med -2.

$$x=1$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Kvadratligninger som denne kan løses ved at fuldføre kvadratet. Ligningen skal først være i formlen x^{2}+bx=c for at fuldføre kvadratet.

$$-x^{2}+2x-1=0$$

Adder 1 på begge sider af ligningen.

$$-x^{2}+2x-1-\left(-1\right)=-\left(-1\right)$$

Hvis -1 subtraheres fra sig selv, giver det 0.

$$-x^{2}+2x=-\left(-1\right)$$

Subtraher -1 fra 0.

$$-x^{2}+2x=1$$

Divider begge sider med -1.

$$\frac{-x^{2}+2x}{-1}=\frac{1}{-1}$$

Division med -1 annullerer multiplikationen med -1.

$$x^{2}+\frac{2}{-1}x=\frac{1}{-1}$$

Divider 2 med -1.

$$x^{2}-2x=\frac{1}{-1}$$

Divider 1 med -1.

$$x^{2}-2x=-1$$

Divider -2, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få -1. Adder derefter kvadratet af -1 på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$x^{2}-2x+1=-1+1$$

Adder -1 til 1.

$$x^{2}-2x+1=0$$

Faktor x^{2}-2x+1. Generelt kan det altid faktoreres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}, når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat.

$$\left(x-1\right)^{2}=0$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(x-1\right)^{2}}=\sqrt{0}$$

Forenkling.

$$x-1=0 x-1=0$$

Adder 1 på begge sider af ligningen.

$$x=1 x=1$$

Ligningen er nu løst. Løsningerne er de samme.

$$x=1$$