Løs -1/5x^2+3x+16/5=0

$$- \frac{ 1 }{ 5 } { x }^{ 2 } +3x+ \frac{ 16 }{ 5 } =0$$

Løs for x

$$x=-1$$

$$x=16$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Alle ligninger i formatet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formel giver to løsninger: Én løsning, når ± er addition, og én anden løsning, når det er subtraktion.

$$-\frac{1}{5}x^{2}+3x+\frac{16}{5}=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat -\frac{1}{5} med a, 3 med b og \frac{16}{5} med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-3±\sqrt{3^{2}-4\left(-\frac{1}{5}\right)\times \frac{16}{5}}}{2\left(-\frac{1}{5}\right)}$$

Kvadrér 3.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-4\left(-\frac{1}{5}\right)\times \frac{16}{5}}}{2\left(-\frac{1}{5}\right)}$$

Multiplicer -4 gange -\frac{1}{5}.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9+\frac{4}{5}\times \frac{16}{5}}}{2\left(-\frac{1}{5}\right)}$$

Multiplicer \frac{4}{5} gange \frac{16}{5} ved at multiplicere tæller gange tæller og nævner gange nævner. Reducer derefter brøken til de laveste mulige led, hvis det er muligt.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9+\frac{64}{25}}}{2\left(-\frac{1}{5}\right)}$$

Adder 9 til \frac{64}{25}.

$$x=\frac{-3±\sqrt{\frac{289}{25}}}{2\left(-\frac{1}{5}\right)}$$

Tag kvadratroden af \frac{289}{25}.

$$x=\frac{-3±\frac{17}{5}}{2\left(-\frac{1}{5}\right)}$$

Multiplicer 2 gange -\frac{1}{5}.

$$x=\frac{-3±\frac{17}{5}}{-\frac{2}{5}}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{-3±\frac{17}{5}}{-\frac{2}{5}} når ± er plus. Adder -3 til \frac{17}{5}.

$$x=\frac{\frac{2}{5}}{-\frac{2}{5}}$$

Divider \frac{2}{5} med -\frac{2}{5} ved at multiplicere \frac{2}{5} med den reciprokke værdi af -\frac{2}{5}.

$$x=-1$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{-3±\frac{17}{5}}{-\frac{2}{5}} når ± er minus. Subtraher \frac{17}{5} fra -3.

$$x=-\frac{\frac{32}{5}}{-\frac{2}{5}}$$

Divider -\frac{32}{5} med -\frac{2}{5} ved at multiplicere -\frac{32}{5} med den reciprokke værdi af -\frac{2}{5}.

$$x=16$$

Ligningen er nu løst.

$$x=-1 x=16$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Kvadratligninger som denne kan løses ved at fuldføre kvadratet. Ligningen skal først være i formlen x^{2}+bx=c for at fuldføre kvadratet.

$$-\frac{1}{5}x^{2}+3x+\frac{16}{5}=0$$

Subtraher \frac{16}{5} fra begge sider af ligningen.

$$-\frac{1}{5}x^{2}+3x+\frac{16}{5}-\frac{16}{5}=-\frac{16}{5}$$

Hvis \frac{16}{5} subtraheres fra sig selv, giver det 0.

$$-\frac{1}{5}x^{2}+3x=-\frac{16}{5}$$

Multiplicer begge sider med -5.

$$\frac{-\frac{1}{5}x^{2}+3x}{-\frac{1}{5}}=-\frac{\frac{16}{5}}{-\frac{1}{5}}$$

Division med -\frac{1}{5} annullerer multiplikationen med -\frac{1}{5}.

$$x^{2}+\frac{3}{-\frac{1}{5}}x=-\frac{\frac{16}{5}}{-\frac{1}{5}}$$

Divider 3 med -\frac{1}{5} ved at multiplicere 3 med den reciprokke værdi af -\frac{1}{5}.

$$x^{2}-15x=-\frac{\frac{16}{5}}{-\frac{1}{5}}$$

Divider -\frac{16}{5} med -\frac{1}{5} ved at multiplicere -\frac{16}{5} med den reciprokke værdi af -\frac{1}{5}.

$$x^{2}-15x=16$$

Divider -15, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få -\frac{15}{2}. Adder derefter kvadratet af -\frac{15}{2} på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$x^{2}-15x+\left(-\frac{15}{2}\right)^{2}=16+\left(-\frac{15}{2}\right)^{2}$$

Du kan kvadrere -\frac{15}{2} ved at kvadrere både tælleren og nævneren i brøken.

$$x^{2}-15x+\frac{225}{4}=16+\frac{225}{4}$$

Adder 16 til \frac{225}{4}.

$$x^{2}-15x+\frac{225}{4}=\frac{289}{4}$$

Faktor x^{2}-15x+\frac{225}{4}. Generelt kan det altid faktoreres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}, når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat.

$$\left(x-\frac{15}{2}\right)^{2}=\frac{289}{4}$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(x-\frac{15}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{289}{4}}$$

Forenkling.

$$x-\frac{15}{2}=\frac{17}{2} x-\frac{15}{2}=-\frac{17}{2}$$

Adder \frac{15}{2} på begge sider af ligningen.

$$x=16 x=-1$$