Løs -n^2/12+11n/12=-5

$$- \frac { n ^ { 2 } } { 12 } + \frac { 11 n } { 12 } = - 5$$

Løs for n

$$n=-4$$

$$n=15$$

Vejledning i faktorisering ved gruppering

Multiplicer begge sider af ligningen med 12.

$$-n^{2}+11n=-60$$

Tilføj 60 på begge sider.

$$-n^{2}+11n+60=0$$

Hvis du vil løse ligningen, skal du faktor venstre side ved at gruppere. For det første skal venstre side ikke skrives som -n^{2}+an+bn+60. Hvis du vil finde a og b, skal du konfigurere et system, der skal løses.

$$a+b=11 ab=-60=-60$$

Da ab er negative, skal a og b have de modsatte tegn. Da a+b er positivt, har det positive tal en større absolut værdi end det negative. Vis alle disse heltals par, der giver produkt -60.

$$-1,60 -2,30 -3,20 -4,15 -5,12 -6,10$$

Beregn summen af hvert par.

$$-1+60=59 -2+30=28 -3+20=17 -4+15=11 -5+12=7 -6+10=4$$

Løsningen er det par, der får summen 11.

$$a=15 b=-4$$

Omskriv -n^{2}+11n+60 som \left(-n^{2}+15n\right)+\left(-4n+60\right).

$$\left(-n^{2}+15n\right)+\left(-4n+60\right)$$

Ud-n i den første og -4 i den anden gruppe.

$$-n\left(n-15\right)-4\left(n-15\right)$$

Udfaktoriser fællesleddet n-15 ved hjælp af fordelingsegenskaben.

$$\left(n-15\right)\left(-n-4\right)$$

Løs n-15=0 og -n-4=0 for at finde Lignings løsninger.

$$n=15 n=-4$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Multiplicer begge sider af ligningen med 12.

$$-n^{2}+11n=-60$$

Tilføj 60 på begge sider.

$$-n^{2}+11n+60=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat -1 med a, 11 med b og 60 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$n=\frac{-11±\sqrt{11^{2}-4\left(-1\right)\times 60}}{2\left(-1\right)}$$

Kvadrér 11.

$$n=\frac{-11±\sqrt{121-4\left(-1\right)\times 60}}{2\left(-1\right)}$$

Multiplicer -4 gange -1.

$$n=\frac{-11±\sqrt{121+4\times 60}}{2\left(-1\right)}$$

Multiplicer 4 gange 60.

$$n=\frac{-11±\sqrt{121+240}}{2\left(-1\right)}$$

Adder 121 til 240.

$$n=\frac{-11±\sqrt{361}}{2\left(-1\right)}$$

Tag kvadratroden af 361.

$$n=\frac{-11±19}{2\left(-1\right)}$$

Multiplicer 2 gange -1.

$$n=\frac{-11±19}{-2}$$

Nu skal du løse ligningen, n=\frac{-11±19}{-2} når ± er plus. Adder -11 til 19.

$$n=\frac{8}{-2}$$

Divider 8 med -2.

$$n=-4$$

Nu skal du løse ligningen, n=\frac{-11±19}{-2} når ± er minus. Subtraher 19 fra -11.

$$n=-\frac{30}{-2}$$

Divider -30 med -2.

$$n=15$$

Ligningen er nu løst.

$$n=-4 n=15$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Multiplicer begge sider af ligningen med 12.

$$-n^{2}+11n=-60$$

Divider begge sider med -1.

$$\frac{-n^{2}+11n}{-1}=-\frac{60}{-1}$$

Division med -1 annullerer multiplikationen med -1.

$$n^{2}+\frac{11}{-1}n=-\frac{60}{-1}$$

Divider 11 med -1.

$$n^{2}-11n=-\frac{60}{-1}$$

Divider -60 med -1.

$$n^{2}-11n=60$$

Divider -11, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få -\frac{11}{2}. Adder derefter kvadratet af -\frac{11}{2} på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$n^{2}-11n+\left(-\frac{11}{2}\right)^{2}=60+\left(-\frac{11}{2}\right)^{2}$$

Du kan kvadrere -\frac{11}{2} ved at kvadrere både tælleren og nævneren i brøken.

$$n^{2}-11n+\frac{121}{4}=60+\frac{121}{4}$$

Adder 60 til \frac{121}{4}.

$$n^{2}-11n+\frac{121}{4}=\frac{361}{4}$$

Faktor n^{2}-11n+\frac{121}{4}. Generelt kan det altid faktoreres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}, når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat.

$$\left(n-\frac{11}{2}\right)^{2}=\frac{361}{4}$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(n-\frac{11}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{361}{4}}$$

Forenkling.

$$n-\frac{11}{2}=\frac{19}{2} n-\frac{11}{2}=-\frac{19}{2}$$

Adder \frac{11}{2} på begge sider af ligningen.

$$n=15 n=-4$$