Løs -2/3t^2+3t=3

$$- \frac { 2 } { 3 } t ^ { 2 } + 3 t = 3$$

Løs for t

$$t=3$$

$$t = \frac{3}{2} = 1\frac{1}{2} = 1,5$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Alle ligninger i formatet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formel giver to løsninger: Én løsning, når ± er addition, og én anden løsning, når det er subtraktion.

$$-\frac{2}{3}t^{2}+3t=3$$

Subtraher 3 fra begge sider af ligningen.

$$-\frac{2}{3}t^{2}+3t-3=3-3$$

Hvis 3 subtraheres fra sig selv, giver det 0.

$$-\frac{2}{3}t^{2}+3t-3=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat -\frac{2}{3} med a, 3 med b og -3 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$t=\frac{-3±\sqrt{3^{2}-4\left(-\frac{2}{3}\right)\left(-3\right)}}{2\left(-\frac{2}{3}\right)}$$

Kvadrér 3.

$$t=\frac{-3±\sqrt{9-4\left(-\frac{2}{3}\right)\left(-3\right)}}{2\left(-\frac{2}{3}\right)}$$

Multiplicer -4 gange -\frac{2}{3}.

$$t=\frac{-3±\sqrt{9+\frac{8}{3}\left(-3\right)}}{2\left(-\frac{2}{3}\right)}$$

Multiplicer \frac{8}{3} gange -3.

$$t=\frac{-3±\sqrt{9-8}}{2\left(-\frac{2}{3}\right)}$$

Adder 9 til -8.

$$t=\frac{-3±\sqrt{1}}{2\left(-\frac{2}{3}\right)}$$

Tag kvadratroden af 1.

$$t=\frac{-3±1}{2\left(-\frac{2}{3}\right)}$$

Multiplicer 2 gange -\frac{2}{3}.

$$t=\frac{-3±1}{-\frac{4}{3}}$$

Nu skal du løse ligningen, t=\frac{-3±1}{-\frac{4}{3}} når ± er plus. Adder -3 til 1.

$$t=-\frac{2}{-\frac{4}{3}}$$

Divider -2 med -\frac{4}{3} ved at multiplicere -2 med den reciprokke værdi af -\frac{4}{3}.

$$t=\frac{3}{2}$$

Nu skal du løse ligningen, t=\frac{-3±1}{-\frac{4}{3}} når ± er minus. Subtraher 1 fra -3.

$$t=-\frac{4}{-\frac{4}{3}}$$

Divider -4 med -\frac{4}{3} ved at multiplicere -4 med den reciprokke værdi af -\frac{4}{3}.

$$t=3$$

Ligningen er nu løst.

$$t=\frac{3}{2} t=3$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Kvadratligninger som denne kan løses ved at fuldføre kvadratet. Ligningen skal først være i formlen x^{2}+bx=c for at fuldføre kvadratet.

$$-\frac{2}{3}t^{2}+3t=3$$

Divider begge sider af ligningen med -\frac{2}{3}, hvilket er det samme som at multiplicere begge sider med den reciprokke værdi af brøken.

$$\frac{-\frac{2}{3}t^{2}+3t}{-\frac{2}{3}}=\frac{3}{-\frac{2}{3}}$$

Division med -\frac{2}{3} annullerer multiplikationen med -\frac{2}{3}.

$$t^{2}+\frac{3}{-\frac{2}{3}}t=\frac{3}{-\frac{2}{3}}$$

Divider 3 med -\frac{2}{3} ved at multiplicere 3 med den reciprokke værdi af -\frac{2}{3}.

$$t^{2}-\frac{9}{2}t=\frac{3}{-\frac{2}{3}}$$

Divider 3 med -\frac{2}{3} ved at multiplicere 3 med den reciprokke værdi af -\frac{2}{3}.

$$t^{2}-\frac{9}{2}t=-\frac{9}{2}$$

Divider -\frac{9}{2}, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få -\frac{9}{4}. Adder derefter kvadratet af -\frac{9}{4} på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$t^{2}-\frac{9}{2}t+\left(-\frac{9}{4}\right)^{2}=-\frac{9}{2}+\left(-\frac{9}{4}\right)^{2}$$

Du kan kvadrere -\frac{9}{4} ved at kvadrere både tælleren og nævneren i brøken.

$$t^{2}-\frac{9}{2}t+\frac{81}{16}=-\frac{9}{2}+\frac{81}{16}$$

Føj -\frac{9}{2} til \frac{81}{16} ved at finde en fællesnævner og tilføje tællere. Reducer derefter brøken til de mindste led, hvis det er muligt.

$$t^{2}-\frac{9}{2}t+\frac{81}{16}=\frac{9}{16}$$

Faktor t^{2}-\frac{9}{2}t+\frac{81}{16}. Generelt kan det altid faktoreres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}, når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat.

$$\left(t-\frac{9}{4}\right)^{2}=\frac{9}{16}$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(t-\frac{9}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{9}{16}}$$

Forenkling.

$$t-\frac{9}{4}=\frac{3}{4} t-\frac{9}{4}=-\frac{3}{4}$$

Adder \frac{9}{4} på begge sider af ligningen.

$$t=3 t=\frac{3}{2}$$