Løs -1/4x^2+2x-3=0

$$- \frac { 1 } { 4 } x ^ { 2 } + 2 x - 3 = 0$$

Løs for x

$$x=2$$

$$x=6$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Alle ligninger i formatet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formel giver to løsninger: Én løsning, når ± er addition, og én anden løsning, når det er subtraktion.

$$-\frac{1}{4}x^{2}+2x-3=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat -\frac{1}{4} med a, 2 med b og -3 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-2±\sqrt{2^{2}-4\left(-\frac{1}{4}\right)\left(-3\right)}}{2\left(-\frac{1}{4}\right)}$$

Kvadrér 2.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4-4\left(-\frac{1}{4}\right)\left(-3\right)}}{2\left(-\frac{1}{4}\right)}$$

Multiplicer -4 gange -\frac{1}{4}.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4-3}}{2\left(-\frac{1}{4}\right)}$$

Adder 4 til -3.

$$x=\frac{-2±\sqrt{1}}{2\left(-\frac{1}{4}\right)}$$

Tag kvadratroden af 1.

$$x=\frac{-2±1}{2\left(-\frac{1}{4}\right)}$$

Multiplicer 2 gange -\frac{1}{4}.

$$x=\frac{-2±1}{-\frac{1}{2}}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{-2±1}{-\frac{1}{2}} når ± er plus. Adder -2 til 1.

$$x=-\frac{1}{-\frac{1}{2}}$$

Divider -1 med -\frac{1}{2} ved at multiplicere -1 med den reciprokke værdi af -\frac{1}{2}.

$$x=2$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{-2±1}{-\frac{1}{2}} når ± er minus. Subtraher 1 fra -2.

$$x=-\frac{3}{-\frac{1}{2}}$$

Divider -3 med -\frac{1}{2} ved at multiplicere -3 med den reciprokke værdi af -\frac{1}{2}.

$$x=6$$

Ligningen er nu løst.

$$x=2 x=6$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Kvadratligninger som denne kan løses ved at fuldføre kvadratet. Ligningen skal først være i formlen x^{2}+bx=c for at fuldføre kvadratet.

$$-\frac{1}{4}x^{2}+2x-3=0$$

Adder 3 på begge sider af ligningen.

$$-\frac{1}{4}x^{2}+2x-3-\left(-3\right)=-\left(-3\right)$$

Hvis -3 subtraheres fra sig selv, giver det 0.

$$-\frac{1}{4}x^{2}+2x=-\left(-3\right)$$

Subtraher -3 fra 0.

$$-\frac{1}{4}x^{2}+2x=3$$

Multiplicer begge sider med -4.

$$\frac{-\frac{1}{4}x^{2}+2x}{-\frac{1}{4}}=\frac{3}{-\frac{1}{4}}$$

Division med -\frac{1}{4} annullerer multiplikationen med -\frac{1}{4}.

$$x^{2}+\frac{2}{-\frac{1}{4}}x=\frac{3}{-\frac{1}{4}}$$

Divider 2 med -\frac{1}{4} ved at multiplicere 2 med den reciprokke værdi af -\frac{1}{4}.

$$x^{2}-8x=\frac{3}{-\frac{1}{4}}$$

Divider 3 med -\frac{1}{4} ved at multiplicere 3 med den reciprokke værdi af -\frac{1}{4}.

$$x^{2}-8x=-12$$

Divider -8, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få -4. Adder derefter kvadratet af -4 på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$x^{2}-8x+\left(-4\right)^{2}=-12+\left(-4\right)^{2}$$

Kvadrér -4.

$$x^{2}-8x+16=-12+16$$

Adder -12 til 16.

$$x^{2}-8x+16=4$$

Faktor x^{2}-8x+16. Generelt kan det altid faktoreres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}, når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat.

$$\left(x-4\right)^{2}=4$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(x-4\right)^{2}}=\sqrt{4}$$

Forenkling.

$$x-4=2 x-4=-2$$

Adder 4 på begge sider af ligningen.

$$x=6 x=2$$