Løs -1/2x^2-3/2x+4=0

$$- \frac { 1 } { 2 } x ^ { 2 } - \frac { 3 } { 2 } x + 4 = 0$$

Løs for x

$$x = \frac{\sqrt{41} - 3}{2} \approx 1,701562119$$

$$x=\frac{-\sqrt{41}-3}{2}\approx -4,701562119$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Alle ligninger i formatet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formel giver to løsninger: Én løsning, når ± er addition, og én anden løsning, når det er subtraktion.

$$-\frac{1}{2}x^{2}-\frac{3}{2}x+4=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat -\frac{1}{2} med a, -\frac{3}{2} med b og 4 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-\frac{3}{2}\right)±\sqrt{\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}-4\left(-\frac{1}{2}\right)\times 4}}{2\left(-\frac{1}{2}\right)}$$

Du kan kvadrere -\frac{3}{2} ved at kvadrere både tælleren og nævneren i brøken.

$$x=\frac{-\left(-\frac{3}{2}\right)±\sqrt{\frac{9}{4}-4\left(-\frac{1}{2}\right)\times 4}}{2\left(-\frac{1}{2}\right)}$$

Multiplicer -4 gange -\frac{1}{2}.

$$x=\frac{-\left(-\frac{3}{2}\right)±\sqrt{\frac{9}{4}+2\times 4}}{2\left(-\frac{1}{2}\right)}$$

Multiplicer 2 gange 4.

$$x=\frac{-\left(-\frac{3}{2}\right)±\sqrt{\frac{9}{4}+8}}{2\left(-\frac{1}{2}\right)}$$

Adder \frac{9}{4} til 8.

$$x=\frac{-\left(-\frac{3}{2}\right)±\sqrt{\frac{41}{4}}}{2\left(-\frac{1}{2}\right)}$$

Tag kvadratroden af \frac{41}{4}.

$$x=\frac{-\left(-\frac{3}{2}\right)±\frac{\sqrt{41}}{2}}{2\left(-\frac{1}{2}\right)}$$

Det modsatte af -\frac{3}{2} er \frac{3}{2}.

$$x=\frac{\frac{3}{2}±\frac{\sqrt{41}}{2}}{2\left(-\frac{1}{2}\right)}$$

Multiplicer 2 gange -\frac{1}{2}.

$$x=\frac{\frac{3}{2}±\frac{\sqrt{41}}{2}}{-1}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{\frac{3}{2}±\frac{\sqrt{41}}{2}}{-1} når ± er plus. Adder \frac{3}{2} til \frac{\sqrt{41}}{2}.

$$x=\frac{\sqrt{41}+3}{-2}$$

Divider \frac{3+\sqrt{41}}{2} med -1.

$$x=\frac{-\sqrt{41}-3}{2}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{\frac{3}{2}±\frac{\sqrt{41}}{2}}{-1} når ± er minus. Subtraher \frac{\sqrt{41}}{2} fra \frac{3}{2}.

$$x=\frac{3-\sqrt{41}}{-2}$$

Divider \frac{3-\sqrt{41}}{2} med -1.

$$x=\frac{\sqrt{41}-3}{2}$$

Ligningen er nu løst.

$$x=\frac{-\sqrt{41}-3}{2} x=\frac{\sqrt{41}-3}{2}$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Kvadratligninger som denne kan løses ved at fuldføre kvadratet. Ligningen skal først være i formlen x^{2}+bx=c for at fuldføre kvadratet.

$$-\frac{1}{2}x^{2}-\frac{3}{2}x+4=0$$

Subtraher 4 fra begge sider af ligningen.

$$-\frac{1}{2}x^{2}-\frac{3}{2}x+4-4=-4$$

Hvis 4 subtraheres fra sig selv, giver det 0.

$$-\frac{1}{2}x^{2}-\frac{3}{2}x=-4$$

Multiplicer begge sider med -2.

$$\frac{-\frac{1}{2}x^{2}-\frac{3}{2}x}{-\frac{1}{2}}=-\frac{4}{-\frac{1}{2}}$$

Division med -\frac{1}{2} annullerer multiplikationen med -\frac{1}{2}.

$$x^{2}+\left(-\frac{\frac{3}{2}}{-\frac{1}{2}}\right)x=-\frac{4}{-\frac{1}{2}}$$

Divider -\frac{3}{2} med -\frac{1}{2} ved at multiplicere -\frac{3}{2} med den reciprokke værdi af -\frac{1}{2}.

$$x^{2}+3x=-\frac{4}{-\frac{1}{2}}$$

Divider -4 med -\frac{1}{2} ved at multiplicere -4 med den reciprokke værdi af -\frac{1}{2}.

$$x^{2}+3x=8$$

Divider 3, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få \frac{3}{2}. Adder derefter kvadratet af \frac{3}{2} på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$x^{2}+3x+\left(\frac{3}{2}\right)^{2}=8+\left(\frac{3}{2}\right)^{2}$$

Du kan kvadrere \frac{3}{2} ved at kvadrere både tælleren og nævneren i brøken.

$$x^{2}+3x+\frac{9}{4}=8+\frac{9}{4}$$

Adder 8 til \frac{9}{4}.

$$x^{2}+3x+\frac{9}{4}=\frac{41}{4}$$

Faktoriser x^{2}+3x+\frac{9}{4}. Når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat, kan det generelt altid faktoriseres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{3}{2}\right)^{2}=\frac{41}{4}$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(x+\frac{3}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{41}{4}}$$

Forenkling.

$$x+\frac{3}{2}=\frac{\sqrt{41}}{2} x+\frac{3}{2}=-\frac{\sqrt{41}}{2}$$

Subtraher \frac{3}{2} fra begge sider af ligningen.

$$x=\frac{\sqrt{41}-3}{2} x=\frac{-\sqrt{41}-3}{2}$$