Løs -1/12x^2+2/3x+5/3=0

$$- \frac { 1 } { 12 } x ^ { 2 } + \frac { 2 } { 3 } x + \frac { 5 } { 3 } = 0$$

Løs for x

$$x=-2$$

$$x=10$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Alle ligninger i formatet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formel giver to løsninger: Én løsning, når ± er addition, og én anden løsning, når det er subtraktion.

$$-\frac{1}{12}x^{2}+\frac{2}{3}x+\frac{5}{3}=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat -\frac{1}{12} med a, \frac{2}{3} med b og \frac{5}{3} med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\frac{2}{3}±\sqrt{\left(\frac{2}{3}\right)^{2}-4\left(-\frac{1}{12}\right)\times \frac{5}{3}}}{2\left(-\frac{1}{12}\right)}$$

Du kan kvadrere \frac{2}{3} ved at kvadrere både tælleren og nævneren i brøken.

$$x=\frac{-\frac{2}{3}±\sqrt{\frac{4}{9}-4\left(-\frac{1}{12}\right)\times \frac{5}{3}}}{2\left(-\frac{1}{12}\right)}$$

Multiplicer -4 gange -\frac{1}{12}.

$$x=\frac{-\frac{2}{3}±\sqrt{\frac{4}{9}+\frac{1}{3}\times \frac{5}{3}}}{2\left(-\frac{1}{12}\right)}$$

Multiplicer \frac{1}{3} gange \frac{5}{3} ved at multiplicere tæller gange tæller og nævner gange nævner. Reducer derefter brøken til de laveste mulige led, hvis det er muligt.

$$x=\frac{-\frac{2}{3}±\sqrt{\frac{4+5}{9}}}{2\left(-\frac{1}{12}\right)}$$

Føj \frac{4}{9} til \frac{5}{9} ved at finde en fællesnævner og tilføje tællere. Reducer derefter brøken til de mindste led, hvis det er muligt.

$$x=\frac{-\frac{2}{3}±\sqrt{1}}{2\left(-\frac{1}{12}\right)}$$

Tag kvadratroden af 1.

$$x=\frac{-\frac{2}{3}±1}{2\left(-\frac{1}{12}\right)}$$

Multiplicer 2 gange -\frac{1}{12}.

$$x=\frac{-\frac{2}{3}±1}{-\frac{1}{6}}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{-\frac{2}{3}±1}{-\frac{1}{6}} når ± er plus. Adder -\frac{2}{3} til 1.

$$x=\frac{\frac{1}{3}}{-\frac{1}{6}}$$

Divider \frac{1}{3} med -\frac{1}{6} ved at multiplicere \frac{1}{3} med den reciprokke værdi af -\frac{1}{6}.

$$x=-2$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{-\frac{2}{3}±1}{-\frac{1}{6}} når ± er minus. Subtraher 1 fra -\frac{2}{3}.

$$x=-\frac{\frac{5}{3}}{-\frac{1}{6}}$$

Divider -\frac{5}{3} med -\frac{1}{6} ved at multiplicere -\frac{5}{3} med den reciprokke værdi af -\frac{1}{6}.

$$x=10$$

Ligningen er nu løst.

$$x=-2 x=10$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Kvadratligninger som denne kan løses ved at fuldføre kvadratet. Ligningen skal først være i formlen x^{2}+bx=c for at fuldføre kvadratet.

$$-\frac{1}{12}x^{2}+\frac{2}{3}x+\frac{5}{3}=0$$

Subtraher \frac{5}{3} fra begge sider af ligningen.

$$-\frac{1}{12}x^{2}+\frac{2}{3}x+\frac{5}{3}-\frac{5}{3}=-\frac{5}{3}$$

Hvis \frac{5}{3} subtraheres fra sig selv, giver det 0.

$$-\frac{1}{12}x^{2}+\frac{2}{3}x=-\frac{5}{3}$$

Multiplicer begge sider med -12.

$$\frac{-\frac{1}{12}x^{2}+\frac{2}{3}x}{-\frac{1}{12}}=-\frac{\frac{5}{3}}{-\frac{1}{12}}$$

Division med -\frac{1}{12} annullerer multiplikationen med -\frac{1}{12}.

$$x^{2}+\frac{\frac{2}{3}}{-\frac{1}{12}}x=-\frac{\frac{5}{3}}{-\frac{1}{12}}$$

Divider \frac{2}{3} med -\frac{1}{12} ved at multiplicere \frac{2}{3} med den reciprokke værdi af -\frac{1}{12}.

$$x^{2}-8x=-\frac{\frac{5}{3}}{-\frac{1}{12}}$$

Divider -\frac{5}{3} med -\frac{1}{12} ved at multiplicere -\frac{5}{3} med den reciprokke værdi af -\frac{1}{12}.

$$x^{2}-8x=20$$

Divider -8, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få -4. Adder derefter kvadratet af -4 på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$x^{2}-8x+\left(-4\right)^{2}=20+\left(-4\right)^{2}$$

Kvadrér -4.

$$x^{2}-8x+16=20+16$$

Adder 20 til 16.

$$x^{2}-8x+16=36$$

Faktor x^{2}-8x+16. Generelt kan det altid faktoreres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}, når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat.

$$\left(x-4\right)^{2}=36$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(x-4\right)^{2}}=\sqrt{36}$$

Forenkling.

$$x-4=6 x-4=-6$$

Adder 4 på begge sider af ligningen.

$$x=10 x=-2$$