Løs (76-4x)(10+2x)=1080

$$(76-4x)(10+2x)=1080$$

Løs for x

$$x=4$$

$$x=10$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere 76-4x med 10+2x, og kombiner ens led.

$$760+112x-8x^{2}=1080$$

Subtraher 1080 fra begge sider.

$$760+112x-8x^{2}-1080=0$$

Subtraher 1080 fra 760 for at få -320.

$$-320+112x-8x^{2}=0$$

Alle ligninger i formatet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formel giver to løsninger: Én løsning, når ± er addition, og én anden løsning, når det er subtraktion.

$$-8x^{2}+112x-320=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat -8 med a, 112 med b og -320 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-112±\sqrt{112^{2}-4\left(-8\right)\left(-320\right)}}{2\left(-8\right)}$$

Kvadrér 112.

$$x=\frac{-112±\sqrt{12544-4\left(-8\right)\left(-320\right)}}{2\left(-8\right)}$$

Multiplicer -4 gange -8.

$$x=\frac{-112±\sqrt{12544+32\left(-320\right)}}{2\left(-8\right)}$$

Multiplicer 32 gange -320.

$$x=\frac{-112±\sqrt{12544-10240}}{2\left(-8\right)}$$

Adder 12544 til -10240.

$$x=\frac{-112±\sqrt{2304}}{2\left(-8\right)}$$

Tag kvadratroden af 2304.

$$x=\frac{-112±48}{2\left(-8\right)}$$

Multiplicer 2 gange -8.

$$x=\frac{-112±48}{-16}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{-112±48}{-16} når ± er plus. Adder -112 til 48.

$$x=-\frac{64}{-16}$$

Divider -64 med -16.

$$x=4$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{-112±48}{-16} når ± er minus. Subtraher 48 fra -112.

$$x=-\frac{160}{-16}$$

Divider -160 med -16.

$$x=10$$

Ligningen er nu løst.

$$x=4 x=10$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere 76-4x med 10+2x, og kombiner ens led.

$$760+112x-8x^{2}=1080$$

Subtraher 760 fra begge sider.

$$112x-8x^{2}=1080-760$$

Subtraher 760 fra 1080 for at få 320.

$$112x-8x^{2}=320$$

Kvadratligninger som denne kan løses ved at fuldføre kvadratet. Ligningen skal først være i formlen x^{2}+bx=c for at fuldføre kvadratet.

$$-8x^{2}+112x=320$$

Divider begge sider med -8.

$$\frac{-8x^{2}+112x}{-8}=\frac{320}{-8}$$

Division med -8 annullerer multiplikationen med -8.

$$x^{2}+\frac{112}{-8}x=\frac{320}{-8}$$

Divider 112 med -8.

$$x^{2}-14x=\frac{320}{-8}$$

Divider 320 med -8.

$$x^{2}-14x=-40$$

Divider -14, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få -7. Adder derefter kvadratet af -7 på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$x^{2}-14x+\left(-7\right)^{2}=-40+\left(-7\right)^{2}$$

Kvadrér -7.

$$x^{2}-14x+49=-40+49$$

Adder -40 til 49.

$$x^{2}-14x+49=9$$

Faktor x^{2}-14x+49. Generelt kan det altid faktoreres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}, når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat.

$$\left(x-7\right)^{2}=9$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(x-7\right)^{2}}=\sqrt{9}$$

Forenkling.

$$x-7=3 x-7=-3$$

Adder 7 på begge sider af ligningen.

$$x=10 x=4$$