Løs (50+x-40)(500-10x)=8000

$$(50+x-40)(500-10x)=8000$$

Løs for x

$$x=10$$

$$x=30$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Subtraher 40 fra 50 for at få 10.

$$\left(10+x\right)\left(500-10x\right)=8000$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere 10+x med 500-10x, og kombiner ens led.

$$5000+400x-10x^{2}=8000$$

Subtraher 8000 fra begge sider.

$$5000+400x-10x^{2}-8000=0$$

Subtraher 8000 fra 5000 for at få -3000.

$$-3000+400x-10x^{2}=0$$

Alle ligninger i formatet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formel giver to løsninger: Én løsning, når ± er addition, og én anden løsning, når det er subtraktion.

$$-10x^{2}+400x-3000=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat -10 med a, 400 med b og -3000 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-400±\sqrt{400^{2}-4\left(-10\right)\left(-3000\right)}}{2\left(-10\right)}$$

Kvadrér 400.

$$x=\frac{-400±\sqrt{160000-4\left(-10\right)\left(-3000\right)}}{2\left(-10\right)}$$

Multiplicer -4 gange -10.

$$x=\frac{-400±\sqrt{160000+40\left(-3000\right)}}{2\left(-10\right)}$$

Multiplicer 40 gange -3000.

$$x=\frac{-400±\sqrt{160000-120000}}{2\left(-10\right)}$$

Adder 160000 til -120000.

$$x=\frac{-400±\sqrt{40000}}{2\left(-10\right)}$$

Tag kvadratroden af 40000.

$$x=\frac{-400±200}{2\left(-10\right)}$$

Multiplicer 2 gange -10.

$$x=\frac{-400±200}{-20}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{-400±200}{-20} når ± er plus. Adder -400 til 200.

$$x=-\frac{200}{-20}$$

Divider -200 med -20.

$$x=10$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{-400±200}{-20} når ± er minus. Subtraher 200 fra -400.

$$x=-\frac{600}{-20}$$

Divider -600 med -20.

$$x=30$$

Ligningen er nu løst.

$$x=10 x=30$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Subtraher 40 fra 50 for at få 10.

$$\left(10+x\right)\left(500-10x\right)=8000$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere 10+x med 500-10x, og kombiner ens led.

$$5000+400x-10x^{2}=8000$$

Subtraher 5000 fra begge sider.

$$400x-10x^{2}=8000-5000$$

Subtraher 5000 fra 8000 for at få 3000.

$$400x-10x^{2}=3000$$

Kvadratligninger som denne kan løses ved at fuldføre kvadratet. Ligningen skal først være i formlen x^{2}+bx=c for at fuldføre kvadratet.

$$-10x^{2}+400x=3000$$

Divider begge sider med -10.

$$\frac{-10x^{2}+400x}{-10}=\frac{3000}{-10}$$

Division med -10 annullerer multiplikationen med -10.

$$x^{2}+\frac{400}{-10}x=\frac{3000}{-10}$$

Divider 400 med -10.

$$x^{2}-40x=\frac{3000}{-10}$$

Divider 3000 med -10.

$$x^{2}-40x=-300$$

Divider -40, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få -20. Adder derefter kvadratet af -20 på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$x^{2}-40x+\left(-20\right)^{2}=-300+\left(-20\right)^{2}$$

Kvadrér -20.

$$x^{2}-40x+400=-300+400$$

Adder -300 til 400.

$$x^{2}-40x+400=100$$

Faktor x^{2}-40x+400. Generelt kan det altid faktoreres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}, når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat.

$$\left(x-20\right)^{2}=100$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(x-20\right)^{2}}=\sqrt{100}$$

Forenkling.

$$x-20=10 x-20=-10$$

Adder 20 på begge sider af ligningen.

$$x=30 x=10$$