Løs (40-x)(20+2x)=1500

$$(40-x)(20+2x)=1500$$

Løs for x (complex solution)

$$x=15+5\sqrt{5}i\approx 15+11,180339887i$$

$$x=-5\sqrt{5}i+15\approx 15-11,180339887i$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere 40-x med 20+2x, og kombiner ens led.

$$800+60x-2x^{2}=1500$$

Subtraher 1500 fra begge sider.

$$800+60x-2x^{2}-1500=0$$

Subtraher 1500 fra 800 for at få -700.

$$-700+60x-2x^{2}=0$$

Alle ligninger i formatet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formel giver to løsninger: Én løsning, når ± er addition, og én anden løsning, når det er subtraktion.

$$-2x^{2}+60x-700=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat -2 med a, 60 med b og -700 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-60±\sqrt{60^{2}-4\left(-2\right)\left(-700\right)}}{2\left(-2\right)}$$

Kvadrér 60.

$$x=\frac{-60±\sqrt{3600-4\left(-2\right)\left(-700\right)}}{2\left(-2\right)}$$

Multiplicer -4 gange -2.

$$x=\frac{-60±\sqrt{3600+8\left(-700\right)}}{2\left(-2\right)}$$

Multiplicer 8 gange -700.

$$x=\frac{-60±\sqrt{3600-5600}}{2\left(-2\right)}$$

Adder 3600 til -5600.

$$x=\frac{-60±\sqrt{-2000}}{2\left(-2\right)}$$

Tag kvadratroden af -2000.

$$x=\frac{-60±20\sqrt{5}i}{2\left(-2\right)}$$

Multiplicer 2 gange -2.

$$x=\frac{-60±20\sqrt{5}i}{-4}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{-60±20\sqrt{5}i}{-4} når ± er plus. Adder -60 til 20i\sqrt{5}.

$$x=\frac{-60+20\sqrt{5}i}{-4}$$

Divider -60+20i\sqrt{5} med -4.

$$x=-5\sqrt{5}i+15$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{-60±20\sqrt{5}i}{-4} når ± er minus. Subtraher 20i\sqrt{5} fra -60.

$$x=\frac{-20\sqrt{5}i-60}{-4}$$

Divider -60-20i\sqrt{5} med -4.

$$x=15+5\sqrt{5}i$$

Ligningen er nu løst.

$$x=-5\sqrt{5}i+15 x=15+5\sqrt{5}i$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere 40-x med 20+2x, og kombiner ens led.

$$800+60x-2x^{2}=1500$$

Subtraher 800 fra begge sider.

$$60x-2x^{2}=1500-800$$

Subtraher 800 fra 1500 for at få 700.

$$60x-2x^{2}=700$$

Kvadratligninger som denne kan løses ved at fuldføre kvadratet. Ligningen skal først være i formlen x^{2}+bx=c for at fuldføre kvadratet.

$$-2x^{2}+60x=700$$

Divider begge sider med -2.

$$\frac{-2x^{2}+60x}{-2}=\frac{700}{-2}$$

Division med -2 annullerer multiplikationen med -2.

$$x^{2}+\frac{60}{-2}x=\frac{700}{-2}$$

Divider 60 med -2.

$$x^{2}-30x=\frac{700}{-2}$$

Divider 700 med -2.

$$x^{2}-30x=-350$$

Divider -30, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få -15. Adder derefter kvadratet af -15 på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$x^{2}-30x+\left(-15\right)^{2}=-350+\left(-15\right)^{2}$$

Kvadrér -15.

$$x^{2}-30x+225=-350+225$$

Adder -350 til 225.

$$x^{2}-30x+225=-125$$

Faktor x^{2}-30x+225. Generelt kan det altid faktoreres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}, når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat.

$$\left(x-15\right)^{2}=-125$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(x-15\right)^{2}}=\sqrt{-125}$$

Forenkling.

$$x-15=5\sqrt{5}i x-15=-5\sqrt{5}i$$

Adder 15 på begge sider af ligningen.

$$x=15+5\sqrt{5}i x=-5\sqrt{5}i+15$$