Løs (30-3x)(10-2x)=216

$$(30-3x)(10-2x)=216$$

Løs for x

$$x=1$$

$$x=14$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere 30-3x med 10-2x, og kombiner ens led.

$$300-90x+6x^{2}=216$$

Subtraher 216 fra begge sider.

$$300-90x+6x^{2}-216=0$$

Subtraher 216 fra 300 for at få 84.

$$84-90x+6x^{2}=0$$

Alle ligninger i formatet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formel giver to løsninger: Én løsning, når ± er addition, og én anden løsning, når det er subtraktion.

$$6x^{2}-90x+84=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat 6 med a, -90 med b og 84 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-90\right)±\sqrt{\left(-90\right)^{2}-4\times 6\times 84}}{2\times 6}$$

Kvadrér -90.

$$x=\frac{-\left(-90\right)±\sqrt{8100-4\times 6\times 84}}{2\times 6}$$

Multiplicer -4 gange 6.

$$x=\frac{-\left(-90\right)±\sqrt{8100-24\times 84}}{2\times 6}$$

Multiplicer -24 gange 84.

$$x=\frac{-\left(-90\right)±\sqrt{8100-2016}}{2\times 6}$$

Adder 8100 til -2016.

$$x=\frac{-\left(-90\right)±\sqrt{6084}}{2\times 6}$$

Tag kvadratroden af 6084.

$$x=\frac{-\left(-90\right)±78}{2\times 6}$$

Det modsatte af -90 er 90.

$$x=\frac{90±78}{2\times 6}$$

Multiplicer 2 gange 6.

$$x=\frac{90±78}{12}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{90±78}{12} når ± er plus. Adder 90 til 78.

$$x=\frac{168}{12}$$

Divider 168 med 12.

$$x=14$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{90±78}{12} når ± er minus. Subtraher 78 fra 90.

$$x=\frac{12}{12}$$

Divider 12 med 12.

$$x=1$$

Ligningen er nu løst.

$$x=14 x=1$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere 30-3x med 10-2x, og kombiner ens led.

$$300-90x+6x^{2}=216$$

Subtraher 300 fra begge sider.

$$-90x+6x^{2}=216-300$$

Subtraher 300 fra 216 for at få -84.

$$-90x+6x^{2}=-84$$

Kvadratligninger som denne kan løses ved at fuldføre kvadratet. Ligningen skal først være i formlen x^{2}+bx=c for at fuldføre kvadratet.

$$6x^{2}-90x=-84$$

Divider begge sider med 6.

$$\frac{6x^{2}-90x}{6}=-\frac{84}{6}$$

Division med 6 annullerer multiplikationen med 6.

$$x^{2}+\left(-\frac{90}{6}\right)x=-\frac{84}{6}$$

Divider -90 med 6.

$$x^{2}-15x=-\frac{84}{6}$$

Divider -84 med 6.

$$x^{2}-15x=-14$$

Divider -15, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få -\frac{15}{2}. Adder derefter kvadratet af -\frac{15}{2} på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$x^{2}-15x+\left(-\frac{15}{2}\right)^{2}=-14+\left(-\frac{15}{2}\right)^{2}$$

Du kan kvadrere -\frac{15}{2} ved at kvadrere både tælleren og nævneren i brøken.

$$x^{2}-15x+\frac{225}{4}=-14+\frac{225}{4}$$

Adder -14 til \frac{225}{4}.

$$x^{2}-15x+\frac{225}{4}=\frac{169}{4}$$

Faktor x^{2}-15x+\frac{225}{4}. Generelt kan det altid faktoreres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}, når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat.

$$\left(x-\frac{15}{2}\right)^{2}=\frac{169}{4}$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(x-\frac{15}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{169}{4}}$$

Forenkling.

$$x-\frac{15}{2}=\frac{13}{2} x-\frac{15}{2}=-\frac{13}{2}$$

Adder \frac{15}{2} på begge sider af ligningen.

$$x=14 x=1$$