Løs (2x-3)(2x+3)-x(x-1)=5

$$(2x-3)(2x+3)-x(x-1)=5$$

Løs for x

$$x = -\frac{7}{3} = -2\frac{1}{3} \approx -2,333333333$$

$$x=2$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Overvej \left(2x-3\right)\left(2x+3\right). Multiplikation kan omdannes til differensen mellem kvadrater ved hjælp af reglen: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}. Kvadrér 3.

$$\left(2x\right)^{2}-9-x\left(x-1\right)=5$$

Udvid \left(2x\right)^{2}.

$$2^{2}x^{2}-9-x\left(x-1\right)=5$$

Beregn 2 til potensen af 2, og få 4.

$$4x^{2}-9-x\left(x-1\right)=5$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere x med x-1.

$$4x^{2}-9-\left(x^{2}-x\right)=5$$

For at finde det modsatte af x^{2}-x skal du finde det modsatte af hvert led.

$$4x^{2}-9-x^{2}+x=5$$

Kombiner 4x^{2} og -x^{2} for at få 3x^{2}.

$$3x^{2}-9+x=5$$

Subtraher 5 fra begge sider.

$$3x^{2}-9+x-5=0$$

Subtraher 5 fra -9 for at få -14.

$$3x^{2}-14+x=0$$

Alle ligninger i formatet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formel giver to løsninger: Én løsning, når ± er addition, og én anden løsning, når det er subtraktion.

$$3x^{2}+x-14=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat 3 med a, 1 med b og -14 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1^{2}-4\times 3\left(-14\right)}}{2\times 3}$$

Kvadrér 1.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1-4\times 3\left(-14\right)}}{2\times 3}$$

Multiplicer -4 gange 3.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1-12\left(-14\right)}}{2\times 3}$$

Multiplicer -12 gange -14.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1+168}}{2\times 3}$$

Adder 1 til 168.

$$x=\frac{-1±\sqrt{169}}{2\times 3}$$

Tag kvadratroden af 169.

$$x=\frac{-1±13}{2\times 3}$$

Multiplicer 2 gange 3.

$$x=\frac{-1±13}{6}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{-1±13}{6} når ± er plus. Adder -1 til 13.

$$x=\frac{12}{6}$$

Divider 12 med 6.

$$x=2$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{-1±13}{6} når ± er minus. Subtraher 13 fra -1.

$$x=-\frac{14}{6}$$

Reducer fraktionen \frac{-14}{6} til de laveste led ved at udtrække og annullere 2.

$$x=-\frac{7}{3}$$

Ligningen er nu løst.

$$x=2 x=-\frac{7}{3}$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Overvej \left(2x-3\right)\left(2x+3\right). Multiplikation kan omdannes til differensen mellem kvadrater ved hjælp af reglen: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}. Kvadrér 3.

$$\left(2x\right)^{2}-9-x\left(x-1\right)=5$$

Udvid \left(2x\right)^{2}.

$$2^{2}x^{2}-9-x\left(x-1\right)=5$$

Beregn 2 til potensen af 2, og få 4.

$$4x^{2}-9-x\left(x-1\right)=5$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere x med x-1.

$$4x^{2}-9-\left(x^{2}-x\right)=5$$

For at finde det modsatte af x^{2}-x skal du finde det modsatte af hvert led.

$$4x^{2}-9-x^{2}+x=5$$

Kombiner 4x^{2} og -x^{2} for at få 3x^{2}.

$$3x^{2}-9+x=5$$

Tilføj 9 på begge sider.

$$3x^{2}+x=5+9$$

Tilføj 5 og 9 for at få 14.

$$3x^{2}+x=14$$

Divider begge sider med 3.

$$\frac{3x^{2}+x}{3}=\frac{14}{3}$$

Division med 3 annullerer multiplikationen med 3.

$$x^{2}+\frac{1}{3}x=\frac{14}{3}$$

Divider \frac{1}{3}, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få \frac{1}{6}. Adder derefter kvadratet af \frac{1}{6} på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$x^{2}+\frac{1}{3}x+\left(\frac{1}{6}\right)^{2}=\frac{14}{3}+\left(\frac{1}{6}\right)^{2}$$

Du kan kvadrere \frac{1}{6} ved at kvadrere både tælleren og nævneren i brøken.

$$x^{2}+\frac{1}{3}x+\frac{1}{36}=\frac{14}{3}+\frac{1}{36}$$

Føj \frac{14}{3} til \frac{1}{36} ved at finde en fællesnævner og tilføje tællere. Reducer derefter brøken til de mindste led, hvis det er muligt.

$$x^{2}+\frac{1}{3}x+\frac{1}{36}=\frac{169}{36}$$

Faktor x^{2}+\frac{1}{3}x+\frac{1}{36}. Generelt kan det altid faktoreres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}, når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat.

$$\left(x+\frac{1}{6}\right)^{2}=\frac{169}{36}$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{6}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{169}{36}}$$

Forenkling.

$$x+\frac{1}{6}=\frac{13}{6} x+\frac{1}{6}=-\frac{13}{6}$$

Subtraher \frac{1}{6} fra begge sider af ligningen.

$$x=2 x=-\frac{7}{3}$$