Løs (200-x)(300-5x)=32000

$$(200-x)(300-5x)=32000$$

Løs for x

$$x=10\sqrt{113}+130\approx 236,301458127$$

$$x=130-10\sqrt{113}\approx 23,698541873$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere 200-x med 300-5x, og kombiner ens led.

$$60000-1300x+5x^{2}=32000$$

Subtraher 32000 fra begge sider.

$$60000-1300x+5x^{2}-32000=0$$

Subtraher 32000 fra 60000 for at få 28000.

$$28000-1300x+5x^{2}=0$$

Alle ligninger i formatet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formel giver to løsninger: Én løsning, når ± er addition, og én anden løsning, når det er subtraktion.

$$5x^{2}-1300x+28000=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat 5 med a, -1300 med b og 28000 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-1300\right)±\sqrt{\left(-1300\right)^{2}-4\times 5\times 28000}}{2\times 5}$$

Kvadrér -1300.

$$x=\frac{-\left(-1300\right)±\sqrt{1690000-4\times 5\times 28000}}{2\times 5}$$

Multiplicer -4 gange 5.

$$x=\frac{-\left(-1300\right)±\sqrt{1690000-20\times 28000}}{2\times 5}$$

Multiplicer -20 gange 28000.

$$x=\frac{-\left(-1300\right)±\sqrt{1690000-560000}}{2\times 5}$$

Adder 1690000 til -560000.

$$x=\frac{-\left(-1300\right)±\sqrt{1130000}}{2\times 5}$$

Tag kvadratroden af 1130000.

$$x=\frac{-\left(-1300\right)±100\sqrt{113}}{2\times 5}$$

Det modsatte af -1300 er 1300.

$$x=\frac{1300±100\sqrt{113}}{2\times 5}$$

Multiplicer 2 gange 5.

$$x=\frac{1300±100\sqrt{113}}{10}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{1300±100\sqrt{113}}{10} når ± er plus. Adder 1300 til 100\sqrt{113}.

$$x=\frac{100\sqrt{113}+1300}{10}$$

Divider 1300+100\sqrt{113} med 10.

$$x=10\sqrt{113}+130$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{1300±100\sqrt{113}}{10} når ± er minus. Subtraher 100\sqrt{113} fra 1300.

$$x=\frac{1300-100\sqrt{113}}{10}$$

Divider 1300-100\sqrt{113} med 10.

$$x=130-10\sqrt{113}$$

Ligningen er nu løst.

$$x=10\sqrt{113}+130 x=130-10\sqrt{113}$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere 200-x med 300-5x, og kombiner ens led.

$$60000-1300x+5x^{2}=32000$$

Subtraher 60000 fra begge sider.

$$-1300x+5x^{2}=32000-60000$$

Subtraher 60000 fra 32000 for at få -28000.

$$-1300x+5x^{2}=-28000$$

Kvadratligninger som denne kan løses ved at fuldføre kvadratet. Ligningen skal først være i formlen x^{2}+bx=c for at fuldføre kvadratet.

$$5x^{2}-1300x=-28000$$

Divider begge sider med 5.

$$\frac{5x^{2}-1300x}{5}=-\frac{28000}{5}$$

Division med 5 annullerer multiplikationen med 5.

$$x^{2}+\left(-\frac{1300}{5}\right)x=-\frac{28000}{5}$$

Divider -1300 med 5.

$$x^{2}-260x=-\frac{28000}{5}$$

Divider -28000 med 5.

$$x^{2}-260x=-5600$$

Divider -260, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få -130. Adder derefter kvadratet af -130 på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$x^{2}-260x+\left(-130\right)^{2}=-5600+\left(-130\right)^{2}$$

Kvadrér -130.

$$x^{2}-260x+16900=-5600+16900$$

Adder -5600 til 16900.

$$x^{2}-260x+16900=11300$$

Faktor x^{2}-260x+16900. Generelt kan det altid faktoreres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}, når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat.

$$\left(x-130\right)^{2}=11300$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(x-130\right)^{2}}=\sqrt{11300}$$

Forenkling.

$$x-130=10\sqrt{113} x-130=-10\sqrt{113}$$

Adder 130 på begge sider af ligningen.

$$x=10\sqrt{113}+130 x=130-10\sqrt{113}$$