Løs (20+x)(100-x)=2375

$$(20+x)(100-x)=2375$$

Løs for x

$$x=5$$

$$x=75$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere 20+x med 100-x, og kombiner ens led.

$$2000+80x-x^{2}=2375$$

Subtraher 2375 fra begge sider.

$$2000+80x-x^{2}-2375=0$$

Subtraher 2375 fra 2000 for at få -375.

$$-375+80x-x^{2}=0$$

Alle ligninger i formatet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formel giver to løsninger: Én løsning, når ± er addition, og én anden løsning, når det er subtraktion.

$$-x^{2}+80x-375=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat -1 med a, 80 med b og -375 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-80±\sqrt{80^{2}-4\left(-1\right)\left(-375\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Kvadrér 80.

$$x=\frac{-80±\sqrt{6400-4\left(-1\right)\left(-375\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Multiplicer -4 gange -1.

$$x=\frac{-80±\sqrt{6400+4\left(-375\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Multiplicer 4 gange -375.

$$x=\frac{-80±\sqrt{6400-1500}}{2\left(-1\right)}$$

Adder 6400 til -1500.

$$x=\frac{-80±\sqrt{4900}}{2\left(-1\right)}$$

Tag kvadratroden af 4900.

$$x=\frac{-80±70}{2\left(-1\right)}$$

Multiplicer 2 gange -1.

$$x=\frac{-80±70}{-2}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{-80±70}{-2} når ± er plus. Adder -80 til 70.

$$x=-\frac{10}{-2}$$

Divider -10 med -2.

$$x=5$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{-80±70}{-2} når ± er minus. Subtraher 70 fra -80.

$$x=-\frac{150}{-2}$$

Divider -150 med -2.

$$x=75$$

Ligningen er nu løst.

$$x=5 x=75$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere 20+x med 100-x, og kombiner ens led.

$$2000+80x-x^{2}=2375$$

Subtraher 2000 fra begge sider.

$$80x-x^{2}=2375-2000$$

Subtraher 2000 fra 2375 for at få 375.

$$80x-x^{2}=375$$

Kvadratligninger som denne kan løses ved at fuldføre kvadratet. Ligningen skal først være i formlen x^{2}+bx=c for at fuldføre kvadratet.

$$-x^{2}+80x=375$$

Divider begge sider med -1.

$$\frac{-x^{2}+80x}{-1}=\frac{375}{-1}$$

Division med -1 annullerer multiplikationen med -1.

$$x^{2}+\frac{80}{-1}x=\frac{375}{-1}$$

Divider 80 med -1.

$$x^{2}-80x=\frac{375}{-1}$$

Divider 375 med -1.

$$x^{2}-80x=-375$$

Divider -80, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få -40. Adder derefter kvadratet af -40 på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$x^{2}-80x+\left(-40\right)^{2}=-375+\left(-40\right)^{2}$$

Kvadrér -40.

$$x^{2}-80x+1600=-375+1600$$

Adder -375 til 1600.

$$x^{2}-80x+1600=1225$$

Faktor x^{2}-80x+1600. Generelt kan det altid faktoreres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}, når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat.

$$\left(x-40\right)^{2}=1225$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(x-40\right)^{2}}=\sqrt{1225}$$

Forenkling.

$$x-40=35 x-40=-35$$

Adder 40 på begge sider af ligningen.

$$x=75 x=5$$