Løs (100-x)(1300-5x)=32000

$$(100-x)(1300-5x)=32000$$

Løs for x

$$x=80\sqrt{2}+180\approx 293,13708499$$

$$x=180-80\sqrt{2}\approx 66,86291501$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere 100-x med 1300-5x, og kombiner ens led.

$$130000-1800x+5x^{2}=32000$$

Subtraher 32000 fra begge sider.

$$130000-1800x+5x^{2}-32000=0$$

Subtraher 32000 fra 130000 for at få 98000.

$$98000-1800x+5x^{2}=0$$

Alle ligninger i formatet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formel giver to løsninger: Én løsning, når ± er addition, og én anden løsning, når det er subtraktion.

$$5x^{2}-1800x+98000=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat 5 med a, -1800 med b og 98000 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-1800\right)±\sqrt{\left(-1800\right)^{2}-4\times 5\times 98000}}{2\times 5}$$

Kvadrér -1800.

$$x=\frac{-\left(-1800\right)±\sqrt{3240000-4\times 5\times 98000}}{2\times 5}$$

Multiplicer -4 gange 5.

$$x=\frac{-\left(-1800\right)±\sqrt{3240000-20\times 98000}}{2\times 5}$$

Multiplicer -20 gange 98000.

$$x=\frac{-\left(-1800\right)±\sqrt{3240000-1960000}}{2\times 5}$$

Adder 3240000 til -1960000.

$$x=\frac{-\left(-1800\right)±\sqrt{1280000}}{2\times 5}$$

Tag kvadratroden af 1280000.

$$x=\frac{-\left(-1800\right)±800\sqrt{2}}{2\times 5}$$

Det modsatte af -1800 er 1800.

$$x=\frac{1800±800\sqrt{2}}{2\times 5}$$

Multiplicer 2 gange 5.

$$x=\frac{1800±800\sqrt{2}}{10}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{1800±800\sqrt{2}}{10} når ± er plus. Adder 1800 til 800\sqrt{2}.

$$x=\frac{800\sqrt{2}+1800}{10}$$

Divider 1800+800\sqrt{2} med 10.

$$x=80\sqrt{2}+180$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{1800±800\sqrt{2}}{10} når ± er minus. Subtraher 800\sqrt{2} fra 1800.

$$x=\frac{1800-800\sqrt{2}}{10}$$

Divider 1800-800\sqrt{2} med 10.

$$x=180-80\sqrt{2}$$

Ligningen er nu løst.

$$x=80\sqrt{2}+180 x=180-80\sqrt{2}$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere 100-x med 1300-5x, og kombiner ens led.

$$130000-1800x+5x^{2}=32000$$

Subtraher 130000 fra begge sider.

$$-1800x+5x^{2}=32000-130000$$

Subtraher 130000 fra 32000 for at få -98000.

$$-1800x+5x^{2}=-98000$$

Kvadratligninger som denne kan løses ved at fuldføre kvadratet. Ligningen skal først være i formlen x^{2}+bx=c for at fuldføre kvadratet.

$$5x^{2}-1800x=-98000$$

Divider begge sider med 5.

$$\frac{5x^{2}-1800x}{5}=-\frac{98000}{5}$$

Division med 5 annullerer multiplikationen med 5.

$$x^{2}+\left(-\frac{1800}{5}\right)x=-\frac{98000}{5}$$

Divider -1800 med 5.

$$x^{2}-360x=-\frac{98000}{5}$$

Divider -98000 med 5.

$$x^{2}-360x=-19600$$

Divider -360, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få -180. Adder derefter kvadratet af -180 på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$x^{2}-360x+\left(-180\right)^{2}=-19600+\left(-180\right)^{2}$$

Kvadrér -180.

$$x^{2}-360x+32400=-19600+32400$$

Adder -19600 til 32400.

$$x^{2}-360x+32400=12800$$

Faktor x^{2}-360x+32400. Generelt kan det altid faktoreres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}, når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat.

$$\left(x-180\right)^{2}=12800$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(x-180\right)^{2}}=\sqrt{12800}$$

Forenkling.

$$x-180=80\sqrt{2} x-180=-80\sqrt{2}$$

Adder 180 på begge sider af ligningen.

$$x=80\sqrt{2}+180 x=180-80\sqrt{2}$$