Løs (10-2x)x=14

$$(10-2x)x=14$$

Løs for x (complex solution)

$$x=\frac{5+\sqrt{3}i}{2}\approx 2,5+0,866025404i$$

$$x=\frac{-\sqrt{3}i+5}{2}\approx 2,5-0,866025404i$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere 10-2x med x.

$$10x-2x^{2}=14$$

Subtraher 14 fra begge sider.

$$10x-2x^{2}-14=0$$

Alle ligninger i formatet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formel giver to løsninger: Én løsning, når ± er addition, og én anden løsning, når det er subtraktion.

$$-2x^{2}+10x-14=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat -2 med a, 10 med b og -14 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-10±\sqrt{10^{2}-4\left(-2\right)\left(-14\right)}}{2\left(-2\right)}$$

Kvadrér 10.

$$x=\frac{-10±\sqrt{100-4\left(-2\right)\left(-14\right)}}{2\left(-2\right)}$$

Multiplicer -4 gange -2.

$$x=\frac{-10±\sqrt{100+8\left(-14\right)}}{2\left(-2\right)}$$

Multiplicer 8 gange -14.

$$x=\frac{-10±\sqrt{100-112}}{2\left(-2\right)}$$

Adder 100 til -112.

$$x=\frac{-10±\sqrt{-12}}{2\left(-2\right)}$$

Tag kvadratroden af -12.

$$x=\frac{-10±2\sqrt{3}i}{2\left(-2\right)}$$

Multiplicer 2 gange -2.

$$x=\frac{-10±2\sqrt{3}i}{-4}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{-10±2\sqrt{3}i}{-4} når ± er plus. Adder -10 til 2i\sqrt{3}.

$$x=\frac{-10+2\sqrt{3}i}{-4}$$

Divider -10+2i\sqrt{3} med -4.

$$x=\frac{-\sqrt{3}i+5}{2}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{-10±2\sqrt{3}i}{-4} når ± er minus. Subtraher 2i\sqrt{3} fra -10.

$$x=\frac{-2\sqrt{3}i-10}{-4}$$

Divider -10-2i\sqrt{3} med -4.

$$x=\frac{5+\sqrt{3}i}{2}$$

Ligningen er nu løst.

$$x=\frac{-\sqrt{3}i+5}{2} x=\frac{5+\sqrt{3}i}{2}$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere 10-2x med x.

$$10x-2x^{2}=14$$

Kvadratligninger som denne kan løses ved at fuldføre kvadratet. Ligningen skal først være i formlen x^{2}+bx=c for at fuldføre kvadratet.

$$-2x^{2}+10x=14$$

Divider begge sider med -2.

$$\frac{-2x^{2}+10x}{-2}=\frac{14}{-2}$$

Division med -2 annullerer multiplikationen med -2.

$$x^{2}+\frac{10}{-2}x=\frac{14}{-2}$$

Divider 10 med -2.

$$x^{2}-5x=\frac{14}{-2}$$

Divider 14 med -2.

$$x^{2}-5x=-7$$

Divider -5, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få -\frac{5}{2}. Adder derefter kvadratet af -\frac{5}{2} på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$x^{2}-5x+\left(-\frac{5}{2}\right)^{2}=-7+\left(-\frac{5}{2}\right)^{2}$$

Du kan kvadrere -\frac{5}{2} ved at kvadrere både tælleren og nævneren i brøken.

$$x^{2}-5x+\frac{25}{4}=-7+\frac{25}{4}$$

Adder -7 til \frac{25}{4}.

$$x^{2}-5x+\frac{25}{4}=-\frac{3}{4}$$

Faktor x^{2}-5x+\frac{25}{4}. Generelt kan det altid faktoreres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}, når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat.

$$\left(x-\frac{5}{2}\right)^{2}=-\frac{3}{4}$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{2}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{3}{4}}$$

Forenkling.

$$x-\frac{5}{2}=\frac{\sqrt{3}i}{2} x-\frac{5}{2}=-\frac{\sqrt{3}i}{2}$$

Adder \frac{5}{2} på begge sider af ligningen.

$$x=\frac{5+\sqrt{3}i}{2} x=\frac{-\sqrt{3}i+5}{2}$$